易失分点清零(四)导数及其应用1．已知直线y＝kx＋1与曲线y＝x3＋ax＋b切于点(1,3)，则b的值为()．A．3B．－3C．5D．－5解析 点(1,3)在直线y＝kx＋1上，∴k＝2.∴2＝f′(1)＝3×12＋a×1⇒a＝－1.∴f(x)＝x3－x＋b. 点(1,3)在曲线上，∴b＝3.故选A.答案A2．(·泰安一中月考)dx＝()．A．lnx＋ln2xB.－1C.D.解析dx＝＝.答案C3．(·广州模拟)设函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c∈R)．若x＝－1为函数f(x)ex的一个极值点，则下列图象不可能为y＝f(x)的图象是()．解析若x＝－1为函数f(x)ex的一个极值点，则易得a＝c.因选项A、B的函数为f(x)＝a(x＋1)2，则[f(x)ex]′＝f′(x)ex＋f(x)(ex)′＝a(x＋1)(x＋3)ex，∴x＝－1为函数f(x)ex的一个极值点，满足条件；选项C中，对称轴x＝－＞0，且开口向下，∴a＜0，b＞0，∴f(－1)＝2a－b＜0，也满足条件；选项D中，对称轴x＝－＜－1，且开口向上，∴a＞0，b＞2a，∴f(－1)＝2a－b＜0，与图矛盾，故答案选D.答案D4．已知f(x)＝x2＋2xf′(1)，则f′(0)等于()．A．0B．－4C．－2D．2解析f′(x)＝2x＋2f′(1)，∴f′(1)＝2＋2f′(1)，即f′(1)＝－2，∴f′(x)＝2x－4，∴f′(0)＝－4.答案B5．给出定义：若函数f(x)在D上可导，即f′(x)存在，且导函数f′(x)在D上也可导，则称f(x)在D上存在二阶导函数，记f″(x)＝[f′(x)]′，若f″(x)<0在D上恒成立，则称f(x)在D上为凸函数．以下四个函数在内不是凸函数的是()．A．f(x)＝sinx＋cosxB．f(x)＝lnx－2xC．f(x)＝－x3＋2x－1D．f(x)＝－xe－x解析A选项中，f′(x)＝cosx－sinx，f″(x)＝－(sinx＋cosx)，当x∈时，f″(x)<0，故f(x)在内是凸函数；同理可得选项B和选项C中的函数在内是凸函数；对D选项，f′(x)＝－e－x＋xe－x＝e－x(x－1)，f″(x)＝e－x－(x－1)e－x＝e－x(2－x)，当x∈时，f″(x)>0，故f(x)＝－xe－x在内不是凸函数．答案D6．(·福建)若a＞0，b＞0，且函数f(x)＝4x3－ax2－2bx＋2在x＝1处有极值，则ab的最大值等于()．A．2B．3C．6D．9解析f′(x)＝12x2－2ax－2b，由函数f(x)在x＝1处有极值，可知函数f(x)在x＝1处的导数值为零，12－2a－2b＝0，所以a＋b＝6，由题意知a，b都是正实数，所以ab≤2＝2＝9，当且仅当a＝b＝3时取到等号．答案D7．函数f(x)＝ax3－x在R上为减函数，则()．A．a≤0B．a<1C．a<0D．a≤1解析f′(x)＝3ax2－1，若a＝0，则f′(x)＝－1<0，f(x)在R上为减函数若a≠0，由已知条件即解得a<0.综上可知a≤0.答案A8．若函数y＝f(x)满足2f(x)＋f＝lnx，则函数f(x)在(1,0)点处的切线斜率为()．A．1B．2C．3D．4解析因为2f(x)＋f＝lnx，所以2f＋f(x)＝－lnx，故f(x)＝lnx，所以切线斜率k＝f′(1)＝1.答案A9．(·济宁一中月考)若点P是曲线y＝x2－lnx上任意一点，则点P到直线y＝x－2的最小值为()．A．1B.C.D.解析由已知y′＝2x－，令2x－＝1，解得x＝1.曲线y＝x2－lnx在x＝1处的切线方程为y－1＝x－1，即x－y＝0.两直线x－y＝0，x－y－2＝0之间的距离为d＝＝.答案B10．幂指函数y＝f(x)g(x)在求导数时，可以运用对数法：在函数解析式两边求对数得lny＝g(x)lnf(x)，两边求导数得＝g′(x)lnf(x)＋g(x)，于是y′＝f(x)g(x)·.运用此法可以探求得知y＝x的一个单调递增区间为()．A．(0,2)B．(2,3)C．(e,4)D．(3,8)解析将函数y＝x两边求对数得lny＝lnx，两边求导数得＝－lnx＋·＝(1－lnx)，所以y′＝y·(1－lnx)＝x·(1－lnx)．令y′>0⇒1－lnx>0⇒0
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