易失分点清零(十)立体几何(二)1．将下面的平面图形(每个点都是正三角形的顶点或边的中点)沿虚线折成一个正四面体后，直线MN与PQ是异面直线的是()．A．①②B．③④C．①④D．②③答案C2．已知空间直角坐标系O－xyz中有一点A(－1，－1,2)，点B是平面xOy内的直线x＋y＝1上的动点，则A，B两点的最短距离是()．A.B.C．3D.解析点B在xOy平面内的直线x＋y＝1上，设点B为(x，－x＋1,0)，所以AB＝＝＝，所以当x＝时，AB取得最小值，此时点B为.答案B3．空间四边形OABC中，OB＝OC，∠AOB＝∠AOC＝，则cos〈OA，BC〉的值为()．A.B.C．－D．0解析因为OA·BC＝OA·(OC－OB)＝OA·OC－OA·OB＝|OA|·|OC|cos〈OA，OC〉－|OA||OB|cos〈OA，OB〉又因为〈OA，OC〉＝〈OA，OB〉＝，|OB|＝|OC|，所以OA·BC＝0，所以OA⊥BC，所以cos〈OA，BC〉＝0.答案D4．已知a，b是异面直线，A、B∈a，C、D∈b，AC⊥b，BD⊥b，且AB＝2，CD＝1，则a与b所成的角是()．A．30°B．45°C．60°D．90°解析因为AB·CD＝(AC＋CD＋DB)·CD＝CD2＝1.所以cos〈AB，CD〉＝＝.所以AB与CD所成的角为60°，即异面直线a与b所成的角为60°.答案C5．在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，BC＝1，DD1＝3，则AC与BD1所成角的余弦值是()．A．0B.C．－D.解析分别以直线DA，DC，DD1为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，则A(1,0,0)，B(1,2,0)，C(0,2,0)，D1(0,0,3)，AC＝(－1,2,0)，BD1＝(－1，－2,3)，cos〈AC，BD1〉＝＝＝－，故AC与BD1所成角的余弦值为.答案B6．如果平面的一条斜线和它在这个平面上的射影的方向向量分别是a＝(1,0,1)，b＝(0,1,1)，那么这条斜线与平面所成的角是()．A．90°B．60°C．45°D．30°解析 cos〈a，b〉＝＝，又 〈a，b〉∈[0，π]，∴〈a，b〉＝60°.答案B7.二面角α－l－β为60°，A，B是棱l上的两点，AC，BD分别在半平面α，β内，AC⊥l，BD⊥l，且AB＝AC＝a，BD＝2a，则CD的长为()．A．2aB.aC．aD.a解析 AC⊥l，BD⊥l，∴〈AC，BD〉＝60°，且AC·BA＝0，AB·BD＝0，∴CD＝CA＋AB＋BD，∴|CD|＝＝＝2a.答案A8．在矩形ABCD中，AB＝1，BC＝，PA⊥平面ABCD，PA＝1，则PC与平面ABCD所成角是()．A．30°B．45°C．60°D．90°解析建立如图所示的空间直角坐标系，则P(0，0,1)，C(1，，0)，PC＝(1，，－1)，平面ABCD的一个法向量为n＝(0,0,1)，所以cos〈PC，n〉＝＝－，所以〈PC，n〉＝120°，所以斜线PC与平面ABCD的法向量所在直线所成角为60°，所以斜线PC与平面ABCD所成角为30°.答案A9．已知平面α的一个法向量n＝(－2，－2,1)，点A(－1,3,0)在α内，则点P(－2,1,4)到平面α的距离为()．A．10B．3C.D.解析PA＝(1,2，－4)，∴P到平面α的距离d＝＝＝＝.答案D10.如图所示，已知点P为菱形ABCD外一点，且PA⊥面ABCD，PA＝AD＝AC，点F为PC中点，则二面角C－BF－D的正切值为()．A.B.C.D.解析如图所示，连接AC，AC∩BD＝O，连接OF.以O为原点，OB、OC、OF所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系O－xyz.设PA＝AD＝AC＝1，则BD＝.所以B，F，C0，，0，D.结合图形可知，OC＝且OC为面BOF的一个法向量，由BC＝，FB＝，可求得面BCF的一个法向量n＝(1，，)．所以cos〈n，OC〉＝，sin〈n，OC〉＝，所以tan〈n，OC〉＝.答案D11．(·兰州模拟)已知点A(λ＋1，μ－1,3)，B(2λ，μ，λ－2μ)，C(λ＋3，μ－3,9)三点共线，则实数λ＋μ＝________.解析因为AB＝(λ－1,1，λ－2μ－3)，AC＝(2，－2,6)，若A，B，C三点共线，则AB∥AC，即＝－＝，解得λ＝0，μ＝0，所以λ＋μ＝0.答案012．已知A(2,5，－6)，在xOy平面上存在点B，使得|AB|＝3，则点B到原点的最短距离为________．解析设B(x，y,0)，由|AB|＝＝3，得(x－2)2＋(y－5)2＝9，所以点B在xOy平面内以C(2,5)为圆心，以3为半径的圆上，到原点的最短距离是|OC|－3＝－3.答案－313．(·泰安模拟)如图，正方形ACDE与等腰直角三角形ACB所在的平面互相垂直，且AC＝BC＝2，∠ACB＝90°，F、G分别是线段AE、BC的中点．AD与GF所成角的余弦值为________．解析以C为原点建立空间直角坐标系C－xyz，A(0,2,0)，B(2,0,0)，D(0,0,2)，G(1,0,0)，F(0,2,1)，AD＝(0，－2,2)，GF＝(－1,2，1)，|...
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