4.8正弦定理和余弦定理一、填空题1.在△ABC中,sin2A≤sin2B+sin2C-sinBsinC,则A的取值范围是________.解析由题意和正弦定理,得a2≤b2+c2-bc,b2+c2-a2≥bc,cosA=≥,所以0<A≤.答案2.若△ABC的内角A,B,C所对的边为a,b,c满足(a+b)2-c2=4,且C=60°,则ab的值为________.解析由(a+b)2-c2=4及余弦定理,得c2=a2+b2-2abcos60°=(a+b)2-3ab,所以ab=.答案3.在△ABC中,若b=1,c=,C=,则a=________.解析由正弦定理,有=,即sinB=.又C为钝角,所以B必为锐角,所以B=,所以A=.故a=b=1.答案14.在△ABC中,已知30,则B等于________.解析根据正弦定理得sin.∴C=45或C=135.当C=45时,B=105;当C=135时,B=15.答案105或155.如图,在△ABC中,D是边AC上的点,且AB=AD,2AB=BD,BC=2BD,则sinC=________.解析设AB=a,∴BD=a,BC=2BD=a,cosA===∴sinA==由正弦定理知sinC=·sinA=×=.答案6.在△ABC中,若S△ABC=(a2+b2-c2),那么角C=________.解析根据三角形面积公式得,S=absinC=(a2+b2-c2),∴sinC=.又由余弦定理:cosC=,∴sinC=cosC,∴C=.答案7.在△ABC中,角A,B,C所对应的边分别为a,b,c,且b2+c2=bc+a2,则角A的大小为________.解析由余弦定理,得cosA==,所以A=.答案8.已知△ABC中,AB=2,C=,则△ABC的周长为________(用含角A的三角函数表示).解析由正弦定理,得△ABC的周长为a+b+c=++2=sinA+sin+2=2sinA+2cosA+2=4sin+2.答案4sin+29.已知△ABC的一个内角为120°,并且三边长构成公差为4的等差数列,则△ABC的面积为________.解析不妨设A=120°,c<b,则a=b+4,c=b-4,于是由cos120°==-,解得b=10,S=bcsin120°=15.答案1510.在△ABC中,内角A,B,C的对边分别是a,b,c,若a2-b2=bc,sinC=2sinB,则A角大小为________.解析由a2-b2=bc,c=2b,得a2=7b2,所以cosA===,所以A=.答案11.在锐角△ABC中,BC=1,B=2A,则的值等于,AC的取值范围为.解析设.由正弦定理得∴.由锐角△ABC得0,又0<180,故30cosAC=2cos∴.答案212.△ABC中,a,b,c分别为A,B,C的对边,如果a,b,c成等差数列,B=30°,△ABC的面积为,那么b=________.解析由a,b,c成等差数列,得2b=a+c.平方得a2+c2=4b2-2ac.又△ABC的面积为,且B=30°,故由S△ABC=acsinB=acsin30°=ac=,得ac=6,所以a2+c2=4b2-12.由余弦定理cosB====.解得b2=4+2.又因为b为边长,故b=1+.答案1+13.在锐角△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.若+=6cosC,则+的值是________.解析利用正、余弦定理将角化为边来运算,因为+=6cosC,由余弦定理得=6·,即a2+b2=c2.而+==·====4.答案4二、解答题14.在△ABC中,已知角A,B,C的对边分别为a,b,c,且(a+b+c)(b+c-a)=3bc.(1)求A;(2)若B-C=90°,c=4,求b.(结果用根式表示)解析(1)由条件,得(b+c)2-a2=3bc,即b2+c2-a2=bc,∴cosA==. 0°