【创新设计】届高考数学2-3圆的切线的性质及判定定理知能演练新人教A版选修4-1一、选择题1．已知圆的半径为6.5cm，圆心到直线l的距离为4.5cm，那么这条直线和这个圆的公共点的个数是()．A．0B．1C．2D．不能确定解析圆心到l的距离是4.5cm小于圆的半径6.5cm，故圆与l相交．答案C2．下列说法中正确的个数是()．①垂直于半径的直线是圆的切线；②过圆上一点且垂直于圆的半径的直线是圆的切线；③过圆心且垂直于切线的直线必过切点；④过切点且垂直于切线的直线必过圆心；⑤过半径的一端且垂直于这条半径的直线是圆的切线；⑥同心圆内大圆的弦AB是小圆的切线，则切点是AB的中点．A．2B．3C．4D．5解析①不正确，因为垂直于半径的直线不一定是圆的切线；②不正确，因为过圆上一点不一定是半径的外端点，所以不一定是圆的切线；③正确；④正确；⑤不正确，必须是过半径的外端点且垂直于这条半径的直线才是圆的切线；⑥正确．答案B3．如图所示，已知⊙O的直径与弦AC的夹角为30°，过C点的切线PC与AB的延长线交于P，PC＝5，则⊙O的半径为()．A.B.C．10D．5解析连接OC，则有∠COP＝60°，OC⊥PC，可求OC＝.答案A4．如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，以BC上一点O为圆心作⊙O与AB相切于E，与AC相切于C，又⊙O与BC的另一个交点为D，则线段BD的长为()．A．1B.C.D.解析⊙O与AC相切于C，则∠ACB＝90°，又AC＝4，BC＝3，∴AB＝5，连接OE，且设⊙O的半径为R，则由△OEB∽△ACB，∴OB＝＝R，∴BC＝OC＋OB＝R＋R＝R＝3，∴R＝，∴BD＝BC－2R＝3－＝.答案C二、填空题5．直线l与半径为r的⊙O相交，且圆心O到直线l的距离为5，则r的取值范围是__________．解析由直线与圆相交的等价条件易得．答案r>56．如图所示，CD是⊙O的直径，AE切⊙O于B，DC的延长线交AB于A，∠A＝20°，则∠DBE＝________.解析连接OB，则OB⊥AB，∴∠AOB＝90°－∠A＝70°，∴∠BOD＝180°－∠AOB＝110°，又OB＝OD，∴∠OBD＝(180°－∠BOD)＝35°，∴∠DBE＝90°－∠OBD＝55°.答案55°7．如图所示，直线AB与⊙O相切于点P，CD是⊙O的直径，C、D与AB的距离分别为4cm、2cm，则⊙O的半径为________．解析利用圆的切线及梯形中位线的知识解决．答案3cm8．如图所示，⊙O内接正方形ABCD中，⊙O的半径为4cm，则过AB、BC中点的弦EF的长是________cm.解析利用圆内半径与弦的关系，并结合圆内接四边形的知识解决．答案4三、解答题9．如图所示，AB为⊙O的直径，AE平分∠BAC交⊙O于E点，过E作⊙O的切线交AC于点D，试判断△AED的形状，并说明理由．解△AED为直角三角形，理由如下：连接OE，∵ED为⊙O切线，∴OE⊥ED.∵OA＝OE，∴∠1＝∠OEA.又∵∠1＝∠2，∴∠2＝∠OEA，∴OE∥AC，∴AC⊥DE，∴△AED为直角三角形．10．如图所示，在直角梯形ABCD中，∠A＝∠B＝90°，AD∥BC，E为AB上的点，DE平分∠ADC，CE平分∠BCD，以AB为直径的圆与CD有怎样的位置关系？解过E作EF⊥CD于F，∵DE平分∠ADC，CE平分∠BCD，∠A＝∠B＝90°，∴AE＝EF＝BE＝AB.∴以AB为直径的圆的圆心为E，∴EF是圆心E到CD的距离，且EF＝AB，∴以AB为直径的圆与边CD是相切关系．11．(拓展深化)如图，△ABC内接于⊙O，点D在OC的延长线上，sinB＝，∠D＝30°.(1)求证：AD是⊙O的切线．(2)若AC＝6，求AD的长．(1)证明如图，连接OA，∵sinB＝，∴∠B＝30°，∵∠AOC＝2∠B，∴∠AOC＝60°，∵∠D＝30°，∴∠OAD＝180°－∠D－∠AOD＝90°，∴AD是⊙O的切线．(2)解∵OA＝OC，∠AOC＝60°，∴△AOC是等边三角形，∴OA＝AC＝6，∵∠OAD＝90°，∠D＝30°，∴AD＝AO＝6.
