§1离散型随机变量及其分布列1．下列变量中，不是随机变量的是()．A．某人投篮6次投中的次数B．某日上证收盘指数C．标准状态下，水在100℃时会沸腾D．某人早晨在车站等出租车的时间解析A中某人投篮投中与否在投之前并不知道，其结果是随机的，故符合随机变量的定义；B中某日上证收盘指数也具有随机性，其结果不知，也符合随机变量的定义；C在标准状态下水在100℃时会沸腾是必然事件，其结果不具有随机性，故不符合随机变量的定义；D中由于出租车到站的时间是随机的，故符合随机变量的定义，综上可知选C.答案C2．①某电话亭内的一部电话1小时内使用的次数记为X；②某人射击2次，击中目标的环数之和记为X；③测量一批电阻，阻值R在950Ω～1200Ω之间；④一个在数轴上随机运动的质点，它在数轴上的位置记为X.其中是离散型随机变量的是()．A．①②B．①③C．①④D．①②④解析①②中变量X所有可能取值是可以一一列举出来的，是离散型随机变量，而③④中的结果不能一一列出，故不是离散型随机变量．答案A3．设某项试验的成功率是失败率的2倍，用随机变量X描述一次试验的成功次数，则P(X＝0)＝()．A．0B.C.D.“解析由题可知X＝0”“表示试验失败，X＝1”表示试验成功，又知试验的成功率是失败率的2倍，从而P(X＝1)＝2P(X＝0)．又P(X＝0)＋P(X＝1)＝1，∴P(X＝0)＝.答案C4．在考试中，需回答三个问题，考试规则规定：每题回答正确得100分，回答不正确得－100分，则这名同学回答这三个问题的总得分X的所有可能取值是________．解析可能回答全对，两对一错，两错一对，全错四种结果，相应得分为300分，100分，－100分，－300分．答案300分，100分，－100分，－300分5．在8件产品中，有3件次品，5件正品，从中任取一件，取到次品就停止，抽取次数为X，则X＝3表示的试验结果是________．解析X＝3表示前2次均是正品，第3次是次品答案共抽取3次，前2次均是正品，第3次是次品6．若离散型随机变量X的分布列为：X01P9c2－c3－8c试求出常数c及相应的分布列．解由离散型随机变量分布列的性质可知：由①得，c＝或c＝，当c＝时，3－8c＝－<0，不合题意．当c＝时，经验证满足题意．∴c＝.故所求离散型随机变量的分布列为X01P7．一个人有n把钥匙，其中只有一把可以打开房门，他随意地进行试开，若试开过的钥匙放在一旁，试过的次数X为随机变量，则P(X＝k)等于()．A.B.C.D.解析X＝k表示第k次恰好打开，前k－1次没有打开，∴P(X＝k)＝××…××＝.答案B8．设随机变量ξ的分布列如下：ξ12345678910Pm则P(ξ＝10)＝()．A.B.C.D.解析P(ξ＝10)＝1－＝1－＝9.答案C9．设随机变量X的概率分布列为P(X＝k)＝mk，k＝1,2,3，则m的值为________．解析由离散型随机变量分布列的性质得，m＝1，解得m＝.答案10．设随机变量X的概率分布列为P(X＝n)＝(n＝1,2,3,4)，其中a为常数，则P＝________.解析由题意，P(X＝1)＋P(X＝2)＋P(X＝3)＋P(X＝4)＝＋＋＋＝1，∴a＝.∴P＝P(X＝1)＋P(X＝2)＝＋＝＝×＝.答案11．已知随机变量X的分布列：X12345Pa(1)求a；(2)求P(X≥4)，P(2≤X<5)．解(1)由＋＋a＋＋＝1，得a＝.(2)P(X≥4)＝P(X＝4)＋P(X＝5)＝＋＝；P(2≤X<5)＝P(X＝2)＋P(X＝3)＋P(X＝4)＝＋＋＝.12．(创新拓展)某次演唱比赛，需要加试综合素质，每位参赛选手需加答3个问题，组委会为每位选手都备有10道不同的题目可供选择，其中有6道艺术类题目，2道文学类题目，2道体育类题目，测试时，每位选手从给定的10道题中不放回地随机抽取3次，每次抽取一道题，回答完该题后，再抽取下一道题目作答．(1)求某选手在3次抽取中，只有第一次抽到的是艺术类题目的概率；(2)求某选手抽到体育类题目的个数X的分布列．解从10道不同的题目中不放回地随机抽取3次，每次只抽取1道题，抽取方法的总数为CCC.(1)某选手在3次抽取中，只有第一次抽到的是艺术类题目的抽法数为CCC，所以，这位选手在3次抽取题目中，只有第一次抽到的是艺术类题目的概率为P＝＝.(2)X的可能取值为0,1,2.P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝.X的分布列为X012P
