【创新设计】届高考数学1-4直角三角形的射影定理知能演练新人教A版选修4-1一、选择题1．在△ABC中，∠BAC＝90°，AD是BC边上的高，则相似三角形共有()．A．0对B．1对C．2对D．3对解析如图所示，△ACD∽△BAD，△ACD∽△BCA，△ABD∽△CBA，共有3对．答案D2．在Rt△ACB中，∠C＝90°，CD⊥AB于D，若BD∶AD＝1∶4，则tan∠BCD的值是()．A.B.C.D．2解析如图所示，由射影定理得CD2＝AD·BD，又∵BD∶AD＝1∶4，令BD＝x，则AD＝4x(x>0)．∴CD2＝AD·BD＝4x2，∴CD＝2x，在Rt△CDB中，tan∠BCD＝＝＝.答案C3．如图，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，AD＝3，CD＝2，则的值为()．A.B.C.D.解析由题意得，CD2＝AD·BD，∴BD＝.又AC2＝AD·AB，BC2＝BD·AB，则＝＝，故＝.答案A4．在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC，垂足为D.若BC＝m，∠B＝α，则AD长为()．A．msin2αB．mcos2αC．msinαcosαD．msinαtanα解析由射影定理，得AB2＝BD·BC，AC2＝CD·BC，即m2cos2α＝BD·m，m2sin2α＝CD·m，即BD＝mcos2α，CD＝msin2α.又∵AD2＝BD·DC＝m2cos2αsin2α，∴AD＝mcosαsinα.故选C.答案C二、填空题5．如图所示，四边形ABCD是矩形，∠BEF＝90°，①②③④这四个三角形能相似的是__________．解析因为四边形ABCD为矩形，所以∠A＝∠D＝90°.因为∠BEF＝90°，所以∠1＋∠2＝90°.因为∠1＋∠ABE＝90°，所以∠ABE＝∠2.又因为∠A＝∠D＝90°，所以△ABE∽△DEF.答案①③6．已知圆的直径AB＝13，C为圆上一点，过C作CD⊥AB于D(AD＞BD)，若CD＝6，则AD＝________.解析如图，连接AC，CB，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°设AD＝x，∵CD⊥AB于D，∴由射影定理得CD2＝AD·DB，即62＝x(13－x)，∴x2－13x＋36＝0，解得x1＝4，x2＝9.∵AD＞BD，∴AD＝9.答案97．在Rt△ABC中，∠C＝90°，a－b＝1，tanA＝，其中a、b分别是∠A和∠B的对边，则斜边上的高h＝________.解析由tanA＝＝和a－b＝1，∴a＝3，b＝2，故c＝，∴h＝＝.答案8．如图所示，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，AD＝4，sin∠ACD＝，则CD＝________，BC＝________.解析在Rt△ADC中，AD＝4，sin∠ACD＝＝，得AC＝5，又由射影定理AC2＝AD·AB，得AB＝＝.∴BD＝AB－AD＝－4＝，由射影定理CD2＝AD·BD＝4×＝9，∴CD＝3.又由射影定理BC2＝BD·AB＝×，∴BC＝.答案3三、解答题9．如图所示，AD、CE是△ABC的高，AD和CE相交于点F.求证：AF·FD＝CF·FE.证明因为AD⊥BC，CE⊥AB，所以△AFE和△CFD都是直角三角形．又因为∠AFE＝∠CFD，所以Rt△AFE∽Rt△CFD.所以AF∶FE＝CF∶FD.所以AF·FD＝CF·FE.10．如图所示，D为△ABC中BC边上的一点，∠CAD＝∠B，若AD＝6，AB＝10，BD＝8，求CD的长．解在△ABD中，AD＝6，AB＝10，BD＝8，满足AB2＝AD2＋BD2，∴∠ADB＝90°，即AD⊥BC.又∵∠CAD＝∠B，且∠C＋∠CAD＝90°.∴∠C＋∠B＝90°，即∠BAC＝90°，故在Rt△BAC中，AD⊥BC，由射影定理知AD2＝BD·CD，即62＝8·CD，∴CD＝.11．(拓展深化)已知直角三角形周长为48cm，一锐角平分线分对边为3∶5两部分．(1)求直角三角形的三边长；(2)求两直角边在斜边上的射影的长．解(1)如图，设CD＝3x，BD＝5x，则BC＝8x，过D作DE⊥AB，由题意可得，DE＝3x，BE＝4x，∴AE＋AC＋12x＝48，又AE＝AC，∴AC＝24－6x，AB＝24－2x，∴(24－6x)2＋(8x)2＝(24－2x)2，解得：x1＝0(舍去)，x2＝2，∴AB＝20，AC＝12，BC＝16，∴三边长分别为：20cm,12cm,16cm.(2)作CF⊥AB于F点，∴AC2＝AF·AB，∴AF＝＝＝(cm)；同理：BF＝＝＝(cm)．∴两直角边在斜边上的射影长分别为cm，cm.
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