整体性思维在解题中的应用VIP专享VIP免费

整体性思维在解题中的应用有许多数学题，若单独求解很困难，或者很繁琐。若认真分析题意、仔细观察结构，研究问题的整体形式、整体结构，运用整体性思维，往往能顺利而又简洁地解决问题。现举几例如下：1、整体求值例1、已知m是一元二次方程x2－2x－1=o的根,求m2－2m的值。分析本题若把m代入方程，求出两个无理根，再把m的值代入m2－2m求值显然麻烦且容易出错。我们把m2－2m看做一个整体，由m2－2m－1=0，可直接求得m2－2m=12、整体代入例2、已知x2－5x－1=0，求x2+x21－11的值.分析：如果从方程x2－5x－1=0中解出两个无理根，再代入求值，计算复杂，现把x2=5x+1视作整体代入，则使求值简便。解：由x2－5x－1=o，得x2=5x+1，所以x2+x21—11=5x+1+151x－11=15)15(111)15(2xxx=15945252xxx=15945)15(25xxx=15)15(9)15(25xxx=15)15(16xx=16.3、整体求积例3、在Rt⊿ABC中，∠C=90°,AC+BC=6,AB=5.求S⊿ABC.分析若求出AC和BC的值，再计算S⊿ABC，则很麻烦。1/2由于S⊿ABC=21AC·BC,所以我们只要能求出AC·BC的值就可以了。解由AC+BC=6,得（AC+BC）2=6,所以，AC2+BC2+2AC·BC=6,由勾股定理得，AC2+BC2=AB2=5，所以，AC·BC=21，因此，S⊿ABC=21AC·BC=41。4、变0代入例4、当x=220091时，求式子(4x3—2012x—2009)2009的值。分析若直接代入x的值，计算将很难进行下去。解由x=220091，得2x—1=2009，两边平方整理得：4x2—4x—2008=0。4x3—2012x—2009=x(4x2—4x—2008)+(4x2—4x—2008)—1=—1。所以，原式=（—1）2009=—1。善于观察，从整体分析，挖掘出问题的本质特征，充分运用整体性思维，往往能事半功倍，从而使得许多难题迎刃而解。2/2