2016-2017学年人教A版选修2-1-3.1.3-空间向量的数量积运算课件(23张)VIP专享VIP免费

第三章空间向量与立体几何3.1.3空间向量的数量积运算S�F�W=|F||s|cos根据功的计算,我们定义了平面两向量的数量积运算.一旦定义出来,我们发现这种运算非常有用,它能解决有关长度和角度问题.回顾1)两个向量的夹角的定义:OABaabb如图,已知两个非零向量、ab,在空间任取一点O,作OAa�,OBb�,则角AOB叫做向量a与b的夹角,记作:,ab.⑴范围:0,ab≤≤.,ab=0时,ab与同向;,ab=π时,ab与反向.⑵,,abba＝，⑶如果,2ab,则称a与b垂直,记为ab知新类似地，可以定义空间向量的数量积两个向量的夹角是惟一确定的！2）两个向量的数量积注:①两个向量的数量积是数量，而不是向量;②规定:零向量与任意向量的数量积等于零.已知空间两个非零向量、ab,则cos,abab叫做、ab的数量积,记作ab.即cos,ababab.abA1B1BA类比平面向量,你能说出ab的几何意义吗?如图11AB�是b在a方向上的射影向量.abA1B1BAab的几何意义数量积等于的长度与在的方向上的投影的乘积.aba||ab||cosba显然,对于非零向量、ab,e是单位向量有下列性质:①cos,aeaae；②0;abab③2aaa也就是说2aa.3)空间两个向量的数量积性质注：性质②是证明两向量垂直的依据；性质③是求向量的长度（模）的依据.注：性质②是证明两向量垂直的依据；性质③是求向量的长度（模）的依据.(4)空间向量的数量积满足的运算律⑴()()abab⑵abba(交换律)⑶()abcabac(分配律)⑵是显然成立的,你能证明(1)和(3)吗？这些运算律成立,说明数量积不仅有用,而且运算起来还极为方便.证明：当=0时，等式显然成立.当≠0时，因为()||||cos,ababab||(||||cos,)abab，所以，若>0,则||=，,ab=,ab，故()ab||(||||cos,)abab=(||||cos,)abab=()ab.若<0,则||=-，,ab=π,ab，故()ab[||||cos(π,)]abab=(||||cos,)abab=()ab.综上，得()()abab.(1)()().abab.12EDABOabCcl⑶()abcabac.(分配律)分析：分配律等价于各个向量和的投影等于各个向量投影的和.下面证之.如图，设�OA=a，�OB=b，�BC=c，a的单位向量为0a，作轴l与a共线，则�OC=bc.又设�OB，�BC确定平面，又设�OB，�OA确定平面.12EDABOabCcl分别过B，C作BD⊥OA于D，OE⊥OA于E，则�OE=�OD+�DE,OE=OD+DE,即()000�abcabac，上式两边同乘||a得()abcabac.对于三个均不为0的数,a,b,c,若ab=ac,则b=c.对于向量a,b,c,由abac能得到bc吗？如果不能，请举出反例.不能，例如向量a与向量b，c都垂直时，有abac，而未必有bc.对于三个均不为0的数,a,b,c,若ab=c,则ca=b.(或cb=a)对于向量a,b,若abk能否写成kab(或kba)？也就是说向量有除法吗？不能，向量没有除法.对于三个均不为0的数,a,b,c,若(ab)c=a(bc),.对于向量a,b,c,abcabc成立吗？也就是说，向量的数量积满足结合律吗？不成立，左边是一个与向量c共线的向量，右边是一个与向量a共线的向量，而向量c与a连是否共线都是一个未知数.222222)()()()3)()()4)()abcabcpqpqpqpqpq��1.222,,22abab已知,则ab与的夹角大小为_____.2.判断真假:1)若0,ab则0,0ab()135D'C'B'DABCA'解：ACABADAA�22222222||()||||||2()4352(0107.5)85.ACABADAAABADAAABADABAAADAA���...