1/18年第届全国物理竞赛复赛试题答案一、参考解答：．以il表示第个单摆的摆长，由条件（）可知每个摆的周期必须是的整数分之一，即iii402πlTgN（为正整数）（）[()式以及下面的有关各式都是在采用题给单位条件下的数值关系.]由()可得，各单摆的摆长i22i400πglN（）依题意，i0.450m1.000ml，由此可得i2020ππ0.45ggN（）即i2029N（）因此，第个摆的摆长为i22400π(19i)gl(i1,2,,10)（）．20s评分标准：本题分．第小问分．（）式分，（）式分，个摆长共分．第小问分．2/18二、参考解答：设该恒星中心到恒星－行星系统质心的距离为d，根据题意有2Ld（）将有关数据代入（）式，得AU1053d．又根据质心的定义有Mdrdm（）式中r为行星绕恒星做圆周运动的轨道半径，即行星与恒星之间的距离.根据万有引力定律有222πMmGMdrT（）由（）、（）两式得23224π1mdGTMm（）[若考生用r表示行星到恒星行星系统质心的距离，从而把()式写为Mdrm，把()式写为222πMmGMdTrd，则同样可得到()式，这也是正确的.]利用（）式，可得3222π21LmGTMm（）（）式就是行星质量m所满足的方程．可以把()试改写成下面的形式33222π21mMLGMTmM（）因地球绕太阳作圆周运动，根据万有引力定律可得3S22(1AU)(1y)4πGM（）注意到SMM，由（）和（）式并代入有关数据得3102S8.6101SmMmM()由（）式可知S1mM3/18由近似计算可得3S110mM（）由于mM小于，可近似使用开普勒第三定律，即3322(1AU)(1y)rT（）代入有关数据得5AUr（）评分标准：本题分．（）式分，（）式分，（）式分，（）式分，（）式分，（）式分．4/18三、参考解答：解法一一倾角为的直角三角形薄片(如图所示)紧贴于半径为R的圆柱面，圆柱面的轴线与直角三角形薄片的沿竖直方向的直角边平行，若把此三角形薄片卷绕在柱面上，则三角形薄片的斜边就相当于题中的螺线环．根据题意有π1tan2π2RR（）可得5sin5，25cos5（）设在所考察的时刻，螺旋环绕其转轴的角速度为，则环上每一质量为im的小质元绕转轴转动线速度的大小都相同，用表示，uR（）该小质元对转轴的角动量2iiiLmuRmR整个螺旋环对转轴的角动量22iiLLmRmR（）小球沿螺旋环的运动可视为在水平面内的圆周运动和沿竖直方向的直线运动的合成．在螺旋环的角速度为时，设小球相对螺旋环的速度为v，则小球在水平面内作圆周运动的速度为cosRPvv（）沿竖直方向的速度sinvv（）对由小球和螺旋环组成的系绕，外力对转轴的力矩为，系统对转轴的角动量守恒，故有0mRLPv（）由（）、（）、（）三式得vcosR=R（）在小球沿螺旋环运动的过程中，系统的机械能守恒，有222i1122mghmmuPvv（）由（）、（）、（）、（）四式得2222singh=RRvv2cos（）图vu5/18解（）、（）二式，并利用（）式得123ghω=R（）3v=10gh（）由（）、（）以及（）式得23vgh（）或有2123ghv（）（）式表明，小球在竖直方向的运动是匀加速直线运动，其加速度13ag（）若小球自静止开始运动到所考察时刻经历时间为t，则有212h=at（）由（）和（）式得3gtR（）（）式表明，螺旋环的运动是匀加速转动，其角加速度3gR（）小球对螺旋环的作用力有：小球对螺旋环的正压力1N，在图所示的薄片平面内，方向垂直于薄片的斜边；螺旋环迫使小球在水平面内作圆周运动的向心力2N的反作用力2N．向心力2N在水平面内，方向指向转轴，如图所示．1N、2N两力中只有1N对螺旋环的转轴有力矩，由角动量定理有1sinNRtL（）由（）、（）式并注意到t得153sin3mgNmg（）而2N图6/18222NNmRPv（）由以上有关各式得223hNmgR（）小球对螺旋环的作用力2221221453hNNNmgR（）评分标准：本题分．（）、（）式共分，（）式分，（）式分，求得（）式给分，（）式分，（）式分，（）式分．解法二一倾角为的直角三角形薄片(如图所示)紧贴于半径为R的圆柱面，圆柱面的轴线与直角三角形薄片的沿竖直方向的直角边平行，若把此三角形薄片卷绕在柱面上，则三角形薄片的斜边就相当于题中的螺线环．根据题意有π1tan2π2RR（）可得5sin5，25cos5（）螺旋环绕其对称轴无摩擦地转动时，环上每点线速度的大小等于直角三角形薄片在光滑水平地面上向左移动的速度．小球沿螺旋环的运动可视为在竖直方向的直线运...
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