引言空间解析几何所研究的曲面主要是二次曲面。但是也可以研究一些非二次特殊曲面。本论文中将利用直线或曲线适合某几何特征来建立一些曲面的方程。主要讨论由直线产生的柱面和锥面，曲线产生的旋转曲面这三大类。1.柱面定义1：一直线平行于一个定方向且与一条定曲线相交而移动时所产生的曲面叫做柱面（图1），曲线作叫做准线。构成柱面的每一条直线叫做母线。显然，柱面的准线不是唯一的，任何一条与柱面所有母线都相交的曲线都可以取做柱面的准线，通常取一条平面曲线作为准线。特别地，若取准线为一条直线，则柱面为一平面，可见平面是柱面的特例。下面分几种情形讨论柱面的方程。1.1母线平行于坐标轴的柱面方程选取合适的坐标系，研究对象的方程可以大为化简。设柱面的母线平行于z轴，准线为Oxy面上的一条曲线，其方程为：,00fxyz又设,,Pxyz为柱面上一动点（图2），则过点P与z轴平行的直线是柱面的一条母线，该母线与准线的交点记为,,0Mxy，因点M在准线上，故其坐标应满足准线方程，这表明柱面上任一点,,Pxyz的坐标满足方程,0fxy反过来，若一点,,Pxyz的坐标满足方程,0fxy，过P作z轴的平行线xzyO,,Pxyz,,0Mxy图2图1交Oxy面于点M，则点M的坐标,,0xy满足准线的方程,0,0fxyz，这表明点M在准线上，因此直线MP是柱面的母线(因为直线MP的方向向量为0,0,||0,0,1z)，所以点P在柱面上。综上所述，我们有如下结论：母线平行上于z轴，且与Oxy面的交线为,0,0fxyz的柱面方程为：,0fxy（1）它表示一个无限柱面。若加上限制条件azb，变得它的一平截段面。同理，母线平行于x轴，且与Oyz面的交线为,0,0gyzx的柱面方程为,0gyz；母线平行于y轴，且与Ozx面的交线为,0,0hxzy的柱面方程为,0hxz。定理1：凡三元方程不含坐标,,xyz中任何一个时必表示一个柱面，它的母线平行于方程中不含那个坐标的坐标轴。应该注意，如果母线不平行于坐标，柱面方程就要包含所有的坐标。例1：以Oxy面上的椭圆22221,0xyzab，双曲线22221,0xyzab和抛物线22,0yPxz为准线，母线平行于z轴的柱面方程分别为2222222221,1,2xyxyyPxabab它们分别叫做椭圆柱面、双曲柱面、抛物柱面，由于它们的准线是二次曲线，故又统称为二次柱面，其图形见（图3）。例2：证明，若柱面的准线为zxyoxyzooyxz图3,0:0fxyz母线方向为,,0Vlmnn，则柱面方程为,0lmfxzyznn（2）证：设111,,0Pxy为准线上一点，则过此点的柱面母线的参数方程为：11,,xxlyymzn（为叁数）①当点1P遍历准线上的所有点，那么母线①就推出柱面，消去参数，由①式中最后一个式子得zn，代入其余两个式子，有11,lmxxlxzyymyznn因点1P在准线上，代入11,0fxy，即得(2)式若柱面的准线为1,0:0fxzy母线方向为{,,}0Vlmnm则柱面方程为：1:,0lnfxyzymm（3）若柱面的准线为：2,0:0fyzx母线方向为{,,}0Vlmnl则柱面方程为2:,0mnfyxzxll（4）1.2柱面的一般方程设柱面的准线是一条空间曲线，其方程为12,,0:,,0FxyzFxyz母线方向为,,lmn，在准线上任取一点1111,,Pxyz，则过点1P的母线方程是：11,,xxlyymzn（为叁数）这里,,xyz是母线上点的流动坐标。因点1P的坐标应满足：11112111,,0,,,0FxyzFxyz12,,0,,0FxlymznFxlymzn从上面这两组式子中消去参数，最后得一个三元方程,,0Fxyz(5)这就是以为准线，母线的方向数为,,lmn的柱面方程。例3：柱面的准线是球面2221xyz与平面0xyz的交线，母线方向是1,1,1，求柱面的方向。解：设111,,xyz是准线上任一点，则过这点的母线方程为111,,xxyyzz由此得111,,xxyyzz代入准线方程，得222130xyzxyz消去参数，得2221333xyzxyzxyzxyz展开，化简后得22223xyzxyyzzx这就是所求的柱面方程。1.3柱面的参数方程设柱面的准线的参数方程为：：xftygtatbzht母线方向为,,lmn又设1111,,Pftgtht是准线上的一点，则过1P的母线方程为111,,xftlygtmzhtn（为参数）令1P在准线上移动，即让1t取所有可能的值，并让取所有可能的值，则由上式决定的点,,xyz的轨迹就是所求的柱面。因此，柱面的参数方程是：xftlatbygtmzhtn（6）例4：设柱面的准线为：cossin020xaybz母线方向为{0,1,1}，求柱面的方程。解：由(6)式，柱面得参数方程为：cos02sinxaynz从上式中消去参数和，得住面的一般方程22221yz...
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