考点14导数的应用1．（江苏省苏锡常镇四市2019届高三教学情况调查二）已知e为自然对数的底数，函数2xfxeax的图像恒在直线32yax上方，则实数a的取值范围为_______．【答案】12,0e【解析】因为函数2xfxeax的图像恒在直线32yax上方，所以xR，232xeaxax恒成立，即：232xeaxx恒成立.当0a时，若x，0xe，232axx，不满足232xeaxx恒成立.当0a时，23020xexx恒成立.当0a时，不等式232xeaxx恒成立等价于：2min312xxxae，记232xxxehx，则312xhxexx，此时，hx在,1上递减，在31,2上递增，在3,2上递减，其简图如下：所以12min131122ehxhe，所以12ae，又0a，解得：02ea.综上所述：02ea．2．（江苏省苏州市2019届高三下学期阶段测试）若函数在其定义域上恰有两个零点，则正实数a的值为_____.【答案】【解析】当x≤0时，f（x）＝x+2x，单调递增，f（﹣1）＝﹣1+2﹣1＜0，f（0）＝1＞0，由零点存在定理，可得f（x）在（﹣1，0）有且只有一个零点；则由题意可得x＞0时，f（x）＝ax﹣lnx有且只有一个零点，即有a有且只有一个实根．令g（x），g′（x），当x＞e时，g′（x）＜0，g（x）递减；当0＜x＜e时，g′（x）＞0，g（x）递增．即有x＝e处取得极大值，也为最大值，且为，当x如图g（x）的图象，当直线y＝a（a＞0）与g（x）的图象只有一个交点时，则a．故答案为：．3．（江苏省扬州市2018-2019学年度第一学期期末检测试）若存在正实数x，y，z满足，且，则的最小值为_______．【答案】【解析】【分析】由?，又lnln（）＝lnlneln，令，则lnelnet﹣lnt，t，f（t）＝et﹣lnt，利用函数求导求最值．【详解】 正实数x，y，z满足3y2+3z2≤10yz，∴?， ，∴lne，lnln（）＝lnlneln，令，则lnelnet﹣lnt，t，f（t）＝et﹣lnt，f′（t）＝e0，则t，可得f（t）在（）递减，在（）递增，∴f（t）min＝f（）＝1﹣（﹣1）＝2，即（ln）min＝2，∴的最小值为e2，故答案为：e2．4．（江苏省徐州市（苏北三市（徐州、淮安、连云港))2019届高三年级第一次质量检测）已知，，，且，则的最小值为_________．【答案】【解析】令，，，，在上递减，在上递增，所以，当时，有最小值：所以，的最小值为故答案为：．5．（江苏省七市(南通、泰州、扬州、徐州、淮安、宿迁、连云港)2019届高三第三次调研考试）已知数列满足（），（）．（1）若，证明：是等比数列；（2）若存在，使得，，成等差数列．①求数列的通项公式；②证明：．【答案】（1）见解析；（2）①，②见解析【解析】（1）由，得，得，即，因为，所以，所以（），所以是以为首项，2为公比的等比数列．（2）①设，由（1）知，，所以，即，所以．因为，，成等差数列，则，所以，所以，所以，即．②要证，即证，即证．设，则，且，从而只需证，当时，．设（），则，所以在上单调递增，所以，即，因为，所以，所以，原不等式得证．6．（江苏省苏锡常镇四市2019届高三教学情况调查二）已知数列na，12a，且211nnnaaa对任意nN恒成立．（1）求证：112211nnnnaaaaaaL(nN)；（2）求证：11nnan(nN)．【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】（1）①当1n时，2221112213aaa满足211aa成立.②假设当nk时，结论成立.即：112211kkkkaaaaaaL成立下证：当1nk时，112211kkkkaaaaaaL成立。因为211211111kkkkkaaaaa11221112211111kkkkkkkkaaaaaaaaaaaaLL即：当1nk时，112211kkkkaaaaaaL成立由①、②可知，112211nnnnaaaaaaL(n*N)成立。（2）（ⅰ）当1n时，221221311a成立，当2n时，2322222172131112aaaaa成立，（ⅱ）假设nk时（3k），结论正确，即：11kkak成立下证：当1nk时，1211kkak成立.因为2211112111111kkkkkkkkkaaaaakkkk要证1211kkak，只需证12111kkkkkk只需证：121kkkk，只需证：12lnln1kkkk即证：12llnn10kkkk（3k）记2ln11lnhxxxxx2ln1112ln11lnlnxxxxhx21ln1ln12111xxxx当12x≥时，1111ln121ln221ln1ln10122xxe所以2ln11lnhxxxxx在1,上递增，又6423ln34ln3ln34ln729ln2564l0nh所以，当3x时，30hxh恒成立。即：当3k时，30hkh成立。即：当3k时，12llnn10kkkk恒成立.所以当3k，1211kkak恒成立.由（ⅰ）（ⅱ）可得：对任意的正整数nN，不等式11nnan恒成立，命题得证.7．（江苏省苏锡...
