1板块命题点专练(十二)圆锥曲线命题点一椭圆1.(2018·浙江高考)已知点P(0,1)，椭圆x24＋y2＝m(m＞1)上两点A，B满足AP―→＝2PB―→，则当m＝________时，点B横坐标的绝对值最大．解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由AP―→＝2PB―→，得－x1＝2x2，1－y1＝2y2－1，即x1＝－2x2，y1＝3－2y2.因为点A，B在椭圆上，所以4x224＋3－2y22＝m，x224＋y22＝m，解得y2＝14m＋34，所以x22＝m－(3－2y2)2＝－14m2＋52m－94＝－14(m－5)2＋4≤4，所以当m＝5时，点B横坐标的绝对值最大．答案：52．(2016·江苏高考)如图，在平面直角坐标系xOy中，F是椭圆x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的右焦点，直线y＝b2与椭圆交于B，C两点，且∠BFC＝90°，则该椭圆的离心率是________．解析：将y＝b2代入椭圆的标准方程，得x2a2＋b24b2＝1，所以x＝±32a，故B－32a，b2，C32a，b2.又因为F(c,0)，所以BF―→＝c＋32a，－b2，CF―→＝c－32a，－b2.因为∠BFC＝90°，所以BF―→·CF―→＝0，所以c＋32ac－32a＋－b22＝0，2即c2－34a2＋14b2＝0，将b2＝a2－c2代入并化简，得a2＝32c2，所以e2＝c2a2＝23，所以e＝63(负值舍去)．答案：633．(2017·江苏高考)如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆E：x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为12，两准线之间的距离为8.点P在椭圆E上，且位于第一象限，过点F1作直线PF1的垂线l1，过点F2作直线PF2的垂线l2.(1)求椭圆E的标准方程；(2)若直线l1，l2的交点Q在椭圆E上，求点P的坐标．解：(1)设椭圆的半焦距为c.因为椭圆E的离心率为12，两准线之间的距离为8，所以ca＝12，2a2c＝8，解得a＝2，c＝1，于是b＝a2－c2＝3，因此椭圆E的标准方程是x24＋y23＝1.(2)由(1)知，F1(－1,0)，F2(1,0)．设P(x0，y0)，因为P为第一象限的点，故x0＞0，y0＞0.当x0＝1时，l2与l1相交于F1，与题设不符．当x0≠1时，直线PF1的斜率为y0x0＋1，直线PF2的斜率为y0x0－1.因为l1⊥PF1，l2⊥PF2，所以直线l1的斜率为－x0＋1y0，直线l2的斜率为－x0－1y0，从而直线l1的方程为y＝－x0＋1y0(x＋1)，①直线l2的方程为y＝－x0－1y0(x－1)．②由①②，解得x＝－x0，y＝x20－1y0，3所以Q－x0，x20－1y0.因为点Q在椭圆上，由对称性，得x20－1y0＝±y0，即x20－y20＝1或x20＋y20＝1.又点P在椭圆E上，故x204＋y203＝1.联立x20－y20＝1，x204＋y203＝1，解得x0＝477，y0＝377；联立x20＋y20＝1，x204＋y203＝1，无解．因此点P的坐标为477，377.4．(2018·北京高考)已知椭圆M：x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的离心率为63，焦距为22.斜率为k的直线l与椭圆M有两个不同的交点A，B.(1)求椭圆M的方程；(2)若k＝1，求|AB|的最大值；(3)设P(－2,0)，直线PA与椭圆M的另一个交点为C，直线PB与椭圆M的另一个交点为D，若C，D和点Q－74，14共线，求k.解：(1)由题意得a2＝b2＋c2，ca＝63，2c＝22，解得a＝3，b＝1.所以椭圆M的方程为x23＋y2＝1.(2)设直线l的方程为y＝x＋m，A(x1，y1)，B(x2，y2)．由y＝x＋m，x23＋y2＝1，得4x2＋6mx＋3m2－3＝0，所以x1＋x2＝－3m2，x1x2＝3m2－34.4所以|AB|＝x2－x12＋y2－y12＝2x2－x12＝2[x1＋x22－4x1x2]＝12－3m22.当m＝0，即直线l过原点时，|AB|最大，最大值为6.(3)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由题意得x21＋3y21＝3，x22＋3y22＝3.直线PA的方程为y＝y1x1＋2(x＋2)．由y＝y1x1＋2x＋2，x2＋3y2＝3，得[(x1＋2)2＋3y21]x2＋12y21x＋12y21－3(x1＋2)2＝0.设C(xC，yC)，所以xC＋x1＝－12y21x1＋22＋3y21＝4x21－124x1＋7.所以xC＝4x21－124x1＋7－x1＝－12－7x14x1＋7.所以yC＝y1x1＋2(xC＋2)＝y14x1＋7.设D(xD，yD)，同理得xD＝－12－7x24x2＋7，yD＝y24x2＋7.记直线CQ，DQ的斜率分别为kCQ，kDQ，则kCQ－kDQ＝y14x1＋7－14－12－7x14x1＋7＋74－y24x2＋7－14－12－7x24x2＋7＋74＝4(y1－y2－x1＋x2)．因为C，D，Q三点共线，所以kCQ－kDQ＝0.故y1－y2＝x1－x2.所以直线l的斜率k＝y1－y2x1－x2＝1.5．(2017·天津高考)已知椭圆x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的左焦点为F(－c,0)，右顶点为A，5点E的坐标为(0，c),△EFA的面积为b22.(1)求椭圆的离心率；(2)设点Q在线段AE上，|FQ|＝32c，延长线段FQ与椭圆交...
