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高考数学大一轮复习 13.3数学归纳法教师用书 理 苏教版-苏教版高三全册数学试题VIP专享VIP免费

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§13.3数学归纳法数学归纳法证明一个与正整数n有关的命题,可按下列步骤进行:(1)(归纳奠基)证明当n取第一个值n0(n0∈N*)时结论成立;(2)(归纳递推)假设n=k(k≥n0,k∈N*)时结论成立,证明当n=k+1时结论也成立.只要完成这两个步骤,就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立.【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)用数学归纳法证明问题时,第一步是验证当n=1时结论成立.(×)(2)所有与正整数有关的数学命题都必须用数学归纳法证明.(×)(3)用数学归纳法证明问题时,归纳假设可以不用.(×)(4)不论是等式还是不等式,用数学归纳法证明时,由n=k到n=k+1时,项数都增加了一项.(×)(5)用数学归纳法证明等式“1+2+22+…+2n+2=2n+3-1”,验证n=1时,左边式子应为1+2+22+23.(√)(6)用数学归纳法证明凸n边形的内角和公式时,n0=3.(√)1.若f(n)=1+++…+(n∈N*),则f(1)为________(用式子表示).答案1++++解析等式右边的分母是从1开始的连续的自然数,且最大分母为6n-1,则当n=1时,最大分母为5.2.设Sn=1++++…+,则Sn+1-Sn=____________________(用式子表示).答案+++…+解析 Sn+1=1++…+++…+,Sn=1++++…+,∴Sn+1-Sn=+++…+.3.设f(n)=++…+,n∈N*,那么f(n+1)-f(n)=________(用式子表示).答案-解析f(n+1)-f(n)=++…+++-(++…+)=+-=-.4.用数学归纳法证明1+a+a2+…+an+1=(a≠1,n∈N*),在验证n=1成立时,左边需计算的项是_______________________________________________________________.答案1+a+a2解析观察等式左边的特征得到n=1时的式子.题型一用数学归纳法证明等式例1求证:(n+1)(n+2)·…·(n+n)=2n·1·3·5·…·(2n-1)(n∈N*).思维点拨n从k变到k+1,左边增乘了2(2k+1).证明①当n=1时,等式左边=2,右边=2,故等式成立;②假设当n=k时等式成立,即(k+1)(k+2)·…·(k+k)=2k·1·3·5·…·(2k-1),那么当n=k+1时,左边=(k+1+1)(k+1+2)·…·(k+1+k+1)=(k+2)(k+3)·…·(k+k)(2k+1)(2k+2)=2k·1·3·5·…·(2k-1)(2k+1)·2=2k+1·1·3·5·…·(2k-1)(2k+1),这就是说当n=k+1时等式也成立.由①②可知,对所有n∈N*等式成立.思维升华用数学归纳法证明恒等式应注意(1)明确初始值n0的取值并验证n=n0时等式成立.(2)由n=k证明n=k+1时,弄清左边增加的项,且明确变形目标.(3)掌握恒等变形常用的方法:①因式分解;②添拆项;③配方法.用数学归纳法证明:++…+=(n∈N*).证明①当n=1时,左边==,右边==,左边=右边,等式成立.②假设n=k时,等式成立.即++…+=,当n=k+1时,左边=++…++=+===,右边==,左边=右边,等式成立.即对所有n∈N*,原式都成立.题型二用数学归纳法证明不等式例2已知函数f(x)=ax-x2的最大值不大于,又当x∈[,]时,f(x)≥.(1)求a的值;(2)设0

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