ee培优点十七离心率例1：已知椭圆的一个焦点与抛物线的焦点重合，则该椭圆的离心率为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由题可得，抛物线的焦点坐标为，所以，所以，所以离心率．例2：已知点是双曲线右支上一点，是双曲线的左焦点，且双曲线的一条渐近线恰是线段的中垂线，则该双曲线的离心率是（）2221(0)12xyaa28yx14eyxPF2F1OA．B．C．D．【答案】D【解析】设直线，则与渐近线的交点为，因为是的中点，利用中点坐标公式，得，因为点在双曲线上，所以满足，整理得，解得．例3：已知，为双曲线的左、右焦点，点在上，，51:()aPFyxcbbyxae且，则双曲线的离心率（）yxPF2F1OA．B．C．D．【答案】A【解析】由双曲线定义及，得，，由余弦定理得，得．例4：设点为双曲线上一点，，分别是左右焦点，是的内心，若，，的面积，，满足，则双曲线的离心率为（）2cea对点增分集训yxPFGIEF2F1OA．B．C．D．【答案】A【解析】设是的内切圆的半径，因为，∴，两边约去得，根据双曲线定义，得，，∴离心率为．一、选择题1．渐近线方程为的双曲线的离心率是（）rA．B．C．D．【答案】C【解析】因为双曲线的渐近线为，所以，则，双曲线的离心率．2．已知椭圆的离心率为，则（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由题意知，，所以．3．已知点到双曲线的渐近线的距离为，则的离心率是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】 双曲线的渐近线为，∴点到的距离，∴，∴．4．已知抛物线的焦点为，准线为，若与双曲线的两条渐近线分别交于点和点，且（为原点），则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由题意知，，，所以，．5．已知抛物线与椭圆有相同的焦点，点是两曲线的一个公共点，且轴，则椭圆的离心率为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由于抛物线和椭圆有相同的焦点，因此，不妨设是第一象限的点，由轴可知的横坐标为，代入椭圆可得纵坐标为，即，设椭圆的左焦点设为，则根据抛物线定义可得，所以有，化简可得，即，解得．6．设为双曲线的右焦点，为坐标原点，以为直径的圆与圆交于，两点，若，则的离心率为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】 ，∴，又，∴，解得，即．7．设，，分别是椭圆的左、右、上顶点，为坐标原点，为线段的中点，过作直线的垂线，垂足为，若，则的离心率为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】易得与相似，所以，即，所以，即，∴．8．已知，分别为椭圆的左、右焦点，为椭圆上一点，为坐标原点，且，，则该椭圆的离心率为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由已知，可得，即，又，所以，又，且，则可得，则，所以，所以，即．二、填空题9．椭圆的两个焦点分别为，，以为一边作正三角形，若椭圆恰好平分三角形的另两边，则该椭圆的离心率为．【答案】【解析】如图，设椭圆与正三角形另两条边的交点分别是，，由题设条件知，，，，∴，∴．10．已知双曲线的左、右焦点分别为，，过的直线与的两条渐近线分别交于，两点，若，，则的离心率为．【答案】【解析】由，，知是的中点，，又是，的中点，所以为中位线且，所以，因此，又根据两渐近线对称，，所以，．11．设，分别是椭圆的左、右焦点，若在直线上存在点，使线段的中垂线过点，则椭圆的离心率的取值范围是．【答案】【解析】设直线与轴的交点为，连接， 的中垂线过点，∴，可得，又 ，且，∴，即，∴，，结合椭圆的离心率，得，故离心率的取值范围是．三、解答题12．设椭圆的左、右焦点分别为，，以线段为直径的圆与直线相切，若直线与椭圆交于，两点，坐标原点为．（1）求椭圆的离心率；（2）若，求椭圆的方程．【答案】（1）；（2）．【解析】（1） ，∴圆， 圆与相切，∴，∴，，∴．（2）设直线与椭圆的交点为，， ，，∴直线，椭圆，联立直线与椭圆，消去得，∴，，，∴，∴，，∴．13．已知，是椭圆的两个焦点，为上一点，为坐标原点．（1）若为等边三角形，求的离心率；（2）如果存在点，使得，且的面积等于，求的值和的取值范围．【答案】（1）；（2），，【解析】（1）若为等边三角形，则的坐标为，代入方程，可得，解得，所以．（2）由题意可得，因为，所以，所以，所以，...
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