综合模拟练021．在中，，是边的一个三等分点（靠近点），记.（1）求的大小；（2）当取最大值时，求的值.【答案】（1）；（2）试题解析：（1）因为，所以，即，整理得.又，所以，即.（2）设，，，则，.由正弦定理得，.又，由，得.因为，所以.因为，所以.所以当，即时，取得最大值，此时，所以，.【点睛】本题考查正弦定理、勾股定理，求角转化为求角的某个三角函数值，以及基本不等式求最值问题等，其中着重考查化简、变形能力．2．如图，在四棱锥中，，，平面，.设分别为的中点.（1）求证：平面∥平面；（2）求二面角的平面角的余弦值.【答案】（1）见解析；（2）试题解析：（1）证明： 、分别为，的中点，则．又 平面，平面，∴平面．在中，，，∴，又 ，∴． 平面，平面，∴平面，又 ，∴平面平面．（2） 平面，∴平面平面，又 ，平面平面，∴平面，3．如今我们的互联网生活日益丰富，除了可以很方便地网购，网上叫外卖也开始成为不少人日常生活中不可或缺的一部分.为了解网络外卖在市的普及情况，市某调查机构借助网络进行了关于网络外卖的问卷调查，并从参与调查的网民中抽取了200人进行抽样分析，得到表格：（单位：人）经常使用网络外卖偶尔或不用网络外卖合计男性5050100女性6040100合计11090200（1）根据表中数据，能否在犯错误的概率不超过的前提下认为市使用网络外卖的情况与性别有关？（2）①现从所抽取的女网民中利用分层抽样的方法再抽取5人，再从这5人中随机选出3人赠送外卖优惠券，求选出的3人中至少有2人经常使用网络外卖的概率；②将频率视为概率，从市所有参与调查的网民中随机抽取10人赠送礼品，记其中经常使用网络外卖的人数为，求的数学期望和方差.参考公式：，其中.参考数据：0.150.100.050.0250.0102.0722.7063.8415.0246.635【答案】(1)不能在犯错误的概率不超过0.15的前提下认为市使用网络外卖情况与性别有关；(2)①；②答案见解析.试题解析：（1）由列联表可知的观测值，所以不能在犯错误的概率不超过0.15的前提下认为市使用网络外卖情况与性别有关.（2）①依题意，可知所抽取的5名女网民中，经常使用网络外卖的有（人），偶尔或不用网络外卖的有（人）.则选出的3人中至少有2人经常使用网络外卖的概率为.②由列联表，可知抽到经常使用网络外卖的网民的概率为，将频率视为概率，即从市市民中任意抽取1人，恰好抽到经常使用网络外卖的市民的概率为.由题意得，∴；.4．已知点，其中是曲线上的两点，，两点在轴上的射影分别为点，，且.（I）当点的坐标为时，求直线的斜率；（II）记的面积为，梯形的面积为，求证：.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）见解析.试题解析：（Ⅰ）因为，所以代入，得到又，所以，所以代入，得到所以所以,又，所以，所以，因为，所以,所以.法二：设直线的方程为.由,得,所以,点到直线的距离为,所以所以又，所以因为，所以所以5．已知函数.（1）若，求函数的单调递增区间；（2）若关于的不等式在上恒成立，求实数，的值.【答案】（1）；（2），试题解析：（1）依题意，，，令，解得，故函数的单调递增区间为令，则，令，得，当时，，在上单调递增；当时，，在上单调递减.所以的最大值为，所以恒成立，所以，符合题意.6．在平面直角坐标系中，以为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系.曲线的极坐标方程为，曲线的参数方程为（为参数），.（Ⅰ）求曲线的直角坐标方程，并判断该曲线是什么曲线？（Ⅱ）设曲线与曲线的交点为，，，当时，求的值.【答案】（1）曲线为椭圆；（2）.7．已知函数，.（l）求的解集；（2）若对任意的，，都有.求的取值范围.【答案】(1)；(2)或.【解析】试题分析：（1）由两个绝对值的不等式，按绝对值零点分三段讨论，注意解集为先交后并。（2）由题意可得只需转化为恒成立，求参数a的范围，由绝对值不等式分别求得.代入上面不等式可求得a的范围。试题解析：（1） 函数，故，等价于.等价于①，或②，或③.解①求得，解②求得，解③求得.综上可得，不等式的解集为.【点睛】对于绝对值不等式的求解，我们常用分段讨论的方法，也就是按绝对值的零点把数轴上的实数分成多段进行分段讨论，要注意分段时不重不漏，分段...
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