层级快练(二十四)1．(2018·重庆南开中学月考)函数f(x)＝(1＋tanx)cosx的最小正周期为()A．2πB.C．πD.答案A解析f(x)＝(1＋tanx)cosx＝·cosx＝2cos(x－)，则T＝2π.2．函数f(x)＝(1＋cos2x)sin2x是()A．周期为π的奇函数B．周期为π的偶函数C．周期为的奇函数D．周期为的偶函数答案D解析f(x)＝(1＋cos2x)sin2x＝2cos2xsin2x＝sin22x＝，则T＝＝且为偶函数．3．(2018·江西六校联考)下列函数中，最小正周期是π且在区间(，π)上是增函数的是()A．y＝sin2xB．y＝sinxC．y＝tanD．y＝cos2x答案D解析y＝sin2x在区间(，π)上的单调性是先减后增；y＝sinx的最小正周期是T＝＝2π；y＝tan的最小正周期是T＝＝2π；y＝cos2x满足条件．故选D.4．函数y＝2sin(－2x)(x∈[0，π])的增区间是()A．[0，]B．[，]C．[，]D．[，π]答案C解析 y＝2sin(－2x)＝－2sin(2x－)，由＋2kπ≤2x－≤＋2kπ，k∈Z，解得＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，即函数的增区间为[＋kπ，＋kπ]，k∈Z，∴当k＝0时，增区间为[，]．5．已知函数f(x)＝2sin(x＋θ＋)(θ∈[－，])是偶函数，则θ的值为()A．0B.C.D.答案B解析因为函数f(x)为偶函数，所以θ＋＝kπ＋(k∈Z)．又因为θ∈[－，]，所以θ＋＝，解得θ＝，经检验符合题意，故选B.6．(2017·课标全国Ⅲ)设函数f(x)＝cos(x＋)，则下列结论错误的是()A．f(x)的一个周期为－2πB．y＝f(x)的图像关于直线x＝对称C．f(x＋π)的一个零点为x＝D．f(x)在(，π)上单调递减答案D解析由三角函数的周期公式可得T＝＝2π，所以周期是－2π也正确，所以A正确；由于三角函数在对称轴上取得最值，所以把对称轴x＝代入函数f(x)＝cos(＋)＝cos3π＝－1，所以B正确；f(x＋π)＝cos(x＋π＋)＝－cos(x＋)＝0，解得其中一个解是x＝，所以C正确；函数f(x)在区间(，π)有增有减，D不正确，所以选择D.7．设f(x)＝xsinx，若x1，x2∈[－，]，且f(x1)>f(x2)，则下列结论中，必成立的是()A．x1>x2B．x1＋x2>0C．x1x22答案D8．已知函数y＝sinωx在[－，]上是增函数，则ω的取值范围是()A．[－，0)B．[－3，0)C．(0，]D．(0，3]答案C解析由于y＝sinx在[－，]上是增函数，为保证y＝sinωx在[－，]上是增函数，所以ω>0且·ω≤，则0<ω≤.故选C.9．(2018·辽宁大连一模)若方程2sin(2x＋)＝m在区间[0，]上有两个不相等实根，则m的取值范围是()A．(1，)B．[0，2]C．[1，2)D．[1，]答案C解析因为x∈[0，]，所以2x＋∈[，]．当2x＋∈[，]时，函数m＝2sin(2x＋)单调递增，此时，m∈[1，2]；当2x＋∈[，]时，函数m＝2sin(2x＋)单调递减，此时，m∈[－1，2]，因此要有两个不相等实根，则m的取值范围是[1，2)．故选C.10．(2016·天津，文)已知函数f(x)＝sin2＋sinωx－(ω>0)，x∈R，若f(x)在区间(π，2π)内没有零点，则ω的取值范围是()A．(0，]B．(0，]∪[，1)C．(0，]D．(0，]∪[，]答案D解析f(x)＝(1－cosωx)＋sinωx－＝sinωx－cosωx＝sin(ωx－)，当ω＝时，f(x)＝sin(x－)，x∈(π，2π)时，f(x)∈(，]，无零点，排除A、B；当ω＝时，f(x)＝sin(x－)，x∈(π，2π)时，存在x使f(x)＝0，有零点，排除C.故选D.11．若y＝cosx在区间[－π，α]上为增函数，则实数α的取值范围是________．答案－π<α≤012．将函数y＝sin(ωx＋φ)(<φ<π)的图像，仅向右平移，或仅向左平移，所得到的函数图像均关于原点对称，则ω＝________．答案解析注意到函数的两相邻对称中心之间距离是函数周期的一半，即有＝π－(－π)＝2π，T＝4π，即＝4π，ω＝.13．已知函数f(x)＝sinx＋acosx的图像的一条对称轴是x＝，则函数g(x)＝asinx＋cosx的初相是________．答案π解析f′(x)＝cosx－asinx， x＝为函数f(x)＝sinx＋acosx的一条对称轴，∴f′()＝cos－asin＝0，解得a＝－.∴g(x)＝－sinx＋cosx＝(－sinx＋cosx)＝sin(x＋)．14．已知函数f(x)＝.(1)求f(x)的定义域及最小正周期；(2)求f(x)的单调递减区间．答案(1){x∈R|x≠kπ，k∈Z}T＝π(2)[kπ＋，kπ＋](k∈Z)解析(1)由sinx≠0，得x≠kπ(k∈Z)．故f(x)的定义域为{x∈R|x≠kπ，k∈Z}．因为f(x)＝(sinx－cosx)＝2cosx(sinx－cosx)＝sin2x－cos2x－1＝sin(2x...
