第2课时最值、范围、证明专题课时作业1．设椭圆M：＋＝1(a＞b＞0)的离心率与双曲线x2－y2＝1的离心率互为倒数，且内切于圆x2＋y2＝4
(1)求椭圆M的方程；(2)若直线y＝x＋m交椭圆于A，B两点，且P(1，)为椭圆上一点，求△PAB的面积的最大值．解：(1)由双曲线的离心率为，得椭圆的离心率e＝＝
易知圆x2＋y2＝4的直径为4，所以2a＝4
由得故椭圆M的方程为＋＝1
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)．由得4x2＋2mx＋m2－4＝0
由Δ＝(2m)2－16(m2－4)＞0，得－2＜m＜2
∵x1＋x2＝－m，x1x2＝，∴|AB|＝·|x1－x2|＝·＝·＝·
又点P到直线AB的距离d＝，则S△PAB＝|AB|d＝××·＝＝≤·＝，当且仅当m＝±2∈(－2，2)时取等号．故△PAB的面积的最大值为
2．已知圆G：x2＋y2－2x－y＝0经过椭圆＋＝1(a＞b＞0)的右焦点F及上顶点B
过椭圆外一点M(m,0)(m＞a)作倾斜角的直线l交椭圆于C，D两点．(1)求椭圆的方程；(2)若右焦点F在以线段CD为直径的圆E的内部，求m的取值范围．解：(1)∵圆G：x2＋y2－2x－y＝0经过点F，B，∴F(2,0)，B(0，)，∴c＝2，b＝，∴a2＝b2＋c2＝6，∴椭圆的方程为＋＝1
(2)由题意知直线l的方程为y＝－(x－m)，m＞，由消去y，得2x2－2mx＋(m2－6)＝0
由Δ＝4m2－8(m2－6)＞0，解得－2＜m＜2
∵m＞，∴＜m＜2
设C(x1，y1)，D(x2，y2)，则x1＋x2＝m，x1x2＝，∴y1y2＝·＝x1x2－(x1＋x2)＋
∵FC＝(x1－2，y1)，FD＝(x2－2，y2)，∴FC·FD＝(x1－2)(x2－2)＋y1y2＝x1x2－(x1＋x2)＋＋4＝
∵点F在圆E的内部，∴FC·FD＜0，即＜0，解得0＜m＜
