第2课时最值、范围、证明专题课时作业1．设椭圆M：＋＝1(a＞b＞0)的离心率与双曲线x2－y2＝1的离心率互为倒数，且内切于圆x2＋y2＝4.(1)求椭圆M的方程；(2)若直线y＝x＋m交椭圆于A，B两点，且P(1，)为椭圆上一点，求△PAB的面积的最大值．解：(1)由双曲线的离心率为，得椭圆的离心率e＝＝.易知圆x2＋y2＝4的直径为4，所以2a＝4.由得故椭圆M的方程为＋＝1.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)．由得4x2＋2mx＋m2－4＝0.由Δ＝(2m)2－16(m2－4)＞0，得－2＜m＜2.∵x1＋x2＝－m，x1x2＝，∴|AB|＝·|x1－x2|＝·＝·＝·.又点P到直线AB的距离d＝，则S△PAB＝|AB|d＝××·＝＝≤·＝，当且仅当m＝±2∈(－2，2)时取等号．故△PAB的面积的最大值为.2．已知圆G：x2＋y2－2x－y＝0经过椭圆＋＝1(a＞b＞0)的右焦点F及上顶点B.过椭圆外一点M(m,0)(m＞a)作倾斜角的直线l交椭圆于C，D两点．(1)求椭圆的方程；(2)若右焦点F在以线段CD为直径的圆E的内部，求m的取值范围．解：(1)∵圆G：x2＋y2－2x－y＝0经过点F，B，∴F(2,0)，B(0，)，∴c＝2，b＝，∴a2＝b2＋c2＝6，∴椭圆的方程为＋＝1.(2)由题意知直线l的方程为y＝－(x－m)，m＞，由消去y，得2x2－2mx＋(m2－6)＝0.由Δ＝4m2－8(m2－6)＞0，解得－2＜m＜2.∵m＞，∴＜m＜2.设C(x1，y1)，D(x2，y2)，则x1＋x2＝m，x1x2＝，∴y1y2＝·＝x1x2－(x1＋x2)＋.∵FC＝(x1－2，y1)，FD＝(x2－2，y2)，∴FC·FD＝(x1－2)(x2－2)＋y1y2＝x1x2－(x1＋x2)＋＋4＝.∵点F在圆E的内部，∴FC·FD＜0，即＜0，解得0＜m＜3.又∵＜m＜2，∴＜m＜3.故m的取值范围是(，3)．3．椭圆＋＝1(a＞b＞0)的左右焦点分别为F1(－1,0)、F2(1,0)，过F1作与x轴不重合的直线l交椭圆于A、B两点．1(1)若△ABF2为正三角形，求椭圆的离心率；(2)若椭圆的离心率满足0＜e＜，O为坐标原点，求证：|OA|2＋|OB|2＜|AB2|.(1)解：由椭圆的定义知|AF1|＋|AF2|＝|BF1|＋|BF2|，∵|AF2|＝|BF2|，∴|AF1|＝|BF1|，即F1F2为边AB上的中线，∴F1F1⊥AB.在Rt△AF1F2中，cos30°＝，则＝，∴椭圆的离心率为.(2)证明：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，∵0＜e＜，c＝1，∴a＞1＋.①当直线AB与x轴垂直时，＋＝1，y2＝，OA·OB＝x1x2＋y1y2＝1－＝＝，∵a2＞，∴OA·OB＜0，∴∠AOB恒为钝角，∴|OA|2＋|OB|2＜|AB|2.②当直线AB不与x轴垂直时，设直线AB的方程为：y＝k(x＋1)，代入＋＝1，整理得，(b2＋a2k2)x2＋2k2a2x＋a2k2－a2b2＝0，∴x1＋x2＝，x1x2＝，OA·OB＝x1x2＋y1y2＝x1x2＋k2(x1＋1)(x2＋1)＝x1x2(1＋k2)＋k2(x1＋x2)＋k2＝＝＝令m(a)＝－a4＋3a2－1，由①可知m(a)＜0，∴∠AOB恒为钝角，∴恒有|OA|2＋|OB|2＜|AB|2.4．(2019河南4月)在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的离心率e＝，F1，F2分别为左、右焦点，过F1的直线交椭圆C于P，Q两点，且△PQF2的周长为8.(1)求椭圆C的方程；(2)设过点M(3,0)的直线交椭圆C于不同两点A，B，N为椭圆上一点，且满足OA＋OB＝tON(O为坐标原点)，当|AB|＜时，求实数t的取值范围．解析：(1)∵e2＝＝＝，∴a2＝4b2.又∵4a＝8，∴a＝2，∴b2＝1，∴椭圆C的方程是＋y2＝1.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，N(x，y)，AB的方程为y＝k(x－3)，由，整理得(1＋4k2)x2－24k2x＋36k2－4＝0.由△＝242k4－16(9k2－1)(1＋4k2)＞0，得k2＜.∵x1＋x2＝，x1·x2＝，∴OA＋OB＝(x1＋x2，y1＋y2)＝t(x，y)，则x＝(x1＋x2)＝，y＝(y1＋y2)＝[k(x1＋x2)·6k]＝.由点N在椭圆上，得＋＝4，化简得36k2＝t2(1＋4k2)．①又由|AB|＝|x1－x2|＜，即(1＋k2)[(x1＋x2)2－4x1x2]＜3，将x1＋x2，x1x2代入得(1＋k2)＜3，化简，得(8k2－1)(16k2＋13)＞0，则8k2－1＞0，k2＞，∴＜k2＜.②由①，得k2＝，联立②，解得3＜t2＜4.∴－2＜t＜－或＜t＜2，即t∈(－2，－)∪(，2)．23
