第三节导数与函数的极值、最值限时规范训练(限时练·夯基练·提能练)A级基础夯实练1.(2018·聊城二模)下列函数中,既是奇函数又存在极值的是()A.y=x3B.y=ln(-x)C.y=xe-xD.y=x+解析:选D.由题可知,B,C选项中的函数不是奇函数;A选项中,函数y=x3单调递增(无极值);D选项中的函数既为奇函数又存在极值.2.(2018·南京模拟)函数f(x)=x2-5x+2ex的极值点所在的区间为()A.(0,1)B.(-1,0)C.(1,2)D.(-2,-1)解析:选A. f′(x)=2x-5+2ex为增函数,f′(0)=-3<0,f′(1)=2e-3>0, f′(x)=2x-5+2ex的零点在区间(0,1)上,∴f(x)=x2-5x+2ex的极值点在区间(0,1)上.3.(2018·南昌调研)已知e为自然对数的底数,设函数f(x)=(ex-1)(x-1)k(k=1,2),则()A.当k=1时,f(x)在x=1处取得极小值B.当k=1时,f(x)在x=1处取得极大值C.当k=2时,f(x)在x=1处取得极小值D.当k=2时,f(x)在x=1处取得极大值解析:选C.当k=1时,f′(x)=ex·x-1,f′(1)≠0,∴x=1不是f(x)的极值点.当k=2时,f′(x)=(x-1)(xex+ex-2),显然f′(1)=0,且在x=1附近的左侧f′(x)<0,当x>1时,f′(x)>0,∴f(x)在x=1处取得极小值.故选C.4.(2018·佛山调研)设函数f(x)=ax2+bx+c(a,b,c∈R).若x=-1为函数f(x)ex的一个极值点,则下列图象不可能为y=f(x)图象的是()解析:选D.因为[f(x)ex]′=f′(x)ex+f(x)(ex)′=[f(x)+f′(x)]ex,且x=-1为函数f(x)ex的一个极值点,所以f(-1)+f′(-1)=0;选项D中,f(-1)>0,f′(-1)>0,不满足f′(-1)+f(-1)=0.5.(2018·山东临沂模拟)已知y=f(x)是奇函数,当x∈(0,2)时,f(x)=lnx-ax,当x∈(-2,0)时,f(x)的最小值为1,则a=()A.B.C.D.1解析:选D.因为f(x)是奇函数,所以f(x)在(0,2)上的最大值为-1.当x∈(0,2)时,f′(x)=-a,令f′(x)=0,得x=,又a>,所以0<<2.当x<时,f′(x)>0,f(x)在上单调递增;当x>时,f′(x)<0,f(x)在上单调递减,所以f(x)max=f=ln-a·=-1,解得a=1.6.(2018·南通调研)已知函数f(x)=2f′(1)lnx-x,则f(x)的极大值为________.解析:因为f′(x)=-1,所以f′(1)=2f′(1)-1,所以f′(1)=1,故f(x)=2lnx-x,f′(x)=-1=,则f(x)在(0,2)上为增函数,在(2,+∞)上为减函数,所以当x=2时f(x)取得极大值,且f(x)极大值=f(2)=2ln2-2.答案:2ln2-27.(2018·大同模拟)f(x)=x(x-c)2在x=2处有极大值,则常数c的值为________.解析:f(x)=x3-2cx2+c2x,f′(x)=3x2-4cx+c2,f′(2)=0⇒c=2或c=6,若c=2,f′(x)=3x2-8x+4,令f′(x)>0⇒x<或x>2,f′(x)<0⇒<x<2,故函数在及(2,+∞)上单调递增,在上单调递减,所以x=2是极小值点,故c=2(不合题意,舍去),c=6.答案:68.(2018·遵义模拟)不等式ex≥kx对任意实数x恒成立,则实数k的最大值为________.解析:(1)不等式ex≥kx对任意实数x恒成立,即为f(x)=ex-kx≥0恒成立,即有f(x)min≥0,由f(x)的导数为f′(x)=ex-k,当k≤0时,ex>0,可得f′(x)>0恒成立,f(x)递增,无最值;当k>0时,x>lnk时f′(x)>0,f(x)递增;x<lnk时f′(x)<0,f(x)递减.即在x=lnk处取得最小值,且为k-klnk,由k-klnk≥0,解得k≤e,即k的最大值为e.答案:e9.已知函数f(x)=(a>0)的导函数y=f′(x)的两个零点为-3和0.(1)求f(x)的单调区间.(2)若f(x)的极小值为-e3,求f(x)在区间[-5,+∞)上的最大值.解:(1)f′(x)==,令g(x)=-ax2+(2a-b)x+b-c,因为ex>0,所以y=f′(x)的零点就是g(x)=-ax2+(2a-b)x+b-c的零点,且f′(x)与g(x)符号相同.又因为a>0,所以-3<x<0时,g(x)>0,即f′(x)>0,当x<-3或x>0时,g(x)<0,即f′(x)<0,所以f(x)的单调增区间是(-3,0),单调减区间是(-∞,-3),(0,+∞).(2)由(1)知,x=-3是f(x)的极小值点,所以有解得a=1,b=5,c=5,所以f(x)=.因为f(x)的单调增区间是(-3,0),单调减区间是(-∞,-3),(0,+∞),所以f(0)=5为函数f(x)的极大值,故f(x)在区间[-5,+∞)上的最大值取f(-5)和f(0)中的...