专题31数列求和1．已知数列{an}的通项公式是an＝，其前n项和Sn＝，则项数n＝()A．13B．10C．9D．6解析：∵an＝＝1－，∴Sn＝n－＝n－1＋＝，∴n＝6。答案：D2．已知数列{an}满足a1＝1，an＋1·an＝2n(n∈N*)，则S2012＝()A．22012－1B．3·21006－3C．3·21006－1D．3·21005－2答案：B3．已知函数f(x)＝x2＋2bx过(1,2)点，若数列{}的前n项和为Sn，则S2012的值为()A.B.C.D.解析：由已知得b＝，∴f(n)＝n2＋n，∴＝＝＝－，∴S2012＝1－＋－＋…＋－＝1－＝。答案：D4．数列{an}满足an＋an＋1＝(n∈N*)，且a1＝1，Sn是数列{an}的前n项和，则S21＝()A.B．6C．10D．11解析：依题意得an＋an＋1＝an＋1＋an＋2＝，则an＋2＝an，即数列{an}中的奇数项、偶数项分别相等，则a21＝a1＝1，S21＝(a1＋a2)＋(a3＋a4)＋…＋(a19＋a20)＋a21＝10(a1＋a2)＋a21＝10×＋1＝6，故选B。答案：B5．已知函数f(n)＝n2cos(nπ)，且an＝f(n)＋f(n＋1)，则a1＋a2＋a3＋…＋a100＝()A．－100B．0C．100D．10200＝－100。答案：A6．在数列{an}中，已知a1＝1，an＋1－an＝sin，记Sn为数列{an}的前n项和，则S2014＝()A．1006B．1007C．1008D．1009解析：由an＋1－an＝sin⇒an＋1＝an＋sin，所以a2＝a1＋sinπ＝1＋0＝1，a3＝a2＋sin＝1＋(－1)＝0，a4＝a3＋sin2π＝0＋0＝0，a5＝a4＋sin＝0＋1＝1，因此a5＝a1，如此继续可得an＋4＝an(n∈N*)，数列{an}是一个以4为周期的周期数列，而2014＝4×503＋2，因此S2014＝503×(a1＋a2＋a3＋a4)＋a1＋a2＝503×(1＋1＋0＋0)＋1＋1＝1008，故选C。答案：C7．在数列{an}中，a1＝1，an＋1＝(－1)n(an＋1)，记Sn为{an}的前n项和，则S2013＝__________。解析：由a1＝1，an＋1＝(－1)n(an＋1)可得a1＝1，a2＝－2，a3＝－1，a4＝0，该数列是周期为4的数列，所以S2013＝503(a1＋a2＋a3＋a4)＋a2013＝503×(－2)＋1＝－1005。答案：－10058．等比数列{an}的前n项和Sn＝2n－1，则a＋a＋…＋a＝__________。解析：当n＝1时，a1＝S1＝1，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n－1－(2n－1－1)＝2n－1，又∵a1＝1适合上式。∴an＝2n－1，∴a＝4n－1。∴数列{a}是以a＝1为首项，以4为公比的等比数列。∴a＋a＋…＋a＝＝(4n－1)。答案：(4n－1)9．对于每一个正整数n，设曲线y＝xn＋1在点(1,1)处的切线与x轴的交点的横坐标为xn，令an＝lgxn，则a1＋a2＋…＋a99＝__________。答案：－210．已知等比数列{an}中，首项a1＝3，公比q>1，且3(an＋2＋an)－10an＋1＝0(n∈N*)。(1)求数列{an}的通项公式。(2)设是首项为1，公差为2的等差数列，求数列{bn}的通项公式和前n项和Sn。解析：(1)因为3(an＋2＋an)－10an＋1＝0(n∈N*)，所以3(an·q2＋an)－10an·q＝0，即3q2－10q＋3＝0，又q>1，所以q＝3，因为a1＝3，所以an＝3n。(2)因为是首项为1，公差为2的等差数列，所以bn＋an＝1＋2(n－1)，即{bn}的通项公式为bn＝2n－1－3n－1。前n项和Sn＝－(1＋3＋32＋…＋3n－1)＋[1＋3＋…＋(2n－1)]＝－(3n－1)＋n2。11．设数列{an}的前n项和为Sn，已知2Sn＝3n＋3。(1)求{an}的通项公式；(2)若数列{bn}满足anbn＝log3an，求{bn}的前n项和Tn。解析：(1)因为2Sn＝3n＋3，所以2a1＝3＋3，故a1＝3，当n＞1时，2Sn－1＝3n－1＋3，此时2an＝2Sn－2Sn－1＝3n－3n－1＝2×3n－1，即an＝3n－1，所以an＝(2)因为anbn＝log3an，所以b1＝。＝＋－(n－1)×31－n＝－，所以Tn＝－。经检验，n＝1时也适合。综上可得Tn＝－。12．已知数列{an}是公差为2的等差数列，它的前n项和为Sn，且a1＋1，a3＋1，a7＋1成等比数列。(1)求{an}的通项公式。(2)求数列的前n项和Tn。解析：(1)由题意，得a3＋1＝a1＋5，a7＋1＝a1＋13，所以由(a3＋1)2＝(a1＋1)·(a7＋1)，得(a1＋5)2＝(a1＋1)·(a1＋13)，解得a1＝3，所以an＝3＋2(n－1)，即an＝2n＋1。(2)由(1)知an＝2n＋1，则Sn＝n(n＋2)，＝，Tn＝＝＝－。
