4.2.1直线与圆的位置关系1.直线3x-4y+6=0与圆(x-2)2+(y-3)2=4的位置关系是(C)(A)相离(B)相切(C)相交且过圆心(D)相交但不过圆心解析:由于圆心(2,3)在直线3x-4y+6=0上,故选C.2.直线x+2y-5+=0被圆x2+y2-2x-4y=0截得的弦长为(C)(A)1(B)2(C)4(D)4解析:由于(x-1)2+(y-2)2=5,则圆心为(1,2),半径长为,因为圆心到直线的距离d==1,所以弦长为2=2=4.故选C.3.若点P(1,1)为圆x2+y2-6x=0的弦MN的中点,则弦MN所在直线方程为(D)(A)2x+y-3=0(B)x-2y+1=0(C)x+2y-3=0(D)2x-y-1=0解析:由于圆心Q(3,0),直线MN与直线PQ垂直,因为kPQ=-,则kMN=2,所以直线MN方程为y-1=2(x-1),即2x-y-1=0.故选D.4.直线(a+1)x+(a-1)y+2a=0(a∈R)与圆x2+y2-2x+2y-7=0的位置关系是(B)(A)相切(B)相交(C)相离(D)不确定解析:因为(a+1)x+(a-1)y+2a=0恒过定点(-1,-1),又(-1)2+(-1)2-2×(-1)+2×(-1)-7<0,所以定点(-1,-1)在圆内,所以直线与圆相交.5.若圆C的半径为1,圆心在第一象限,且与直线4x-3y=0和x轴相切,则该圆的标准方程是(B)(A)(x-3)2+(y-)2=1(B)(x-2)2+(y-1)2=1(C)(x-1)2+(y-3)2=1(D)(x-)2+(y-1)2=1解析:设圆心为(a,1),由已知得d==1,由a>0,所以a=2.6.若点P(x0,y0)在圆C:x2+y2=r2的内部,则直线xx0+yy0=r2与圆C的位置关系是(C)(A)相交(B)相切(C)相离(D)无法确定解析:点P在圆x2+y2=r2内部,所以+=r,所以直线与圆相离.7.若直线ax+by-3=0和圆x2+y2+4x-1=0相切于点P(-1,2),则ab的值为(C)(A)-3(B)-2(C)2(D)3解析:圆的标准方程为(x+2)2+y2=5,直线与圆相切,则圆心到直线距离为,所以=,整理得a2-12a+5b2-9=0且直线过P(-1,2),代入得2b-a-3=0,两式联立,得a=1,b=2,所以ab=2,故选C.8.已知圆x2+y2+2x-2y+a=0截直线x+y+2=0所得弦的长度为4,则实数a的值是(B)(A)-2(B)-4(C)-6(D)-8解析:圆的标准方程为(x+1)2+(y-1)2=2-a,圆心为(-1,1),半径长r满足r2=2-a,则圆心到直线x+y+2=0的距离d==,所以r2=4+2=2-aa=-4.⇒选B.9.圆x2+y2-4x=0在点P(1,)处的切线方程为.解析:由于圆心M(2,0),切线与MP垂直,因为kMP=-,所以切线斜率为,切线方程为y-=(x-1),即x-y+2=0.答案:x-y+2=010.若过点P(1,-1)作圆x2+y2+kx+2y+k2=0的切线有两条,则实数k的取值范围是.解析:过点P的切线有两条,即点P(1,-1)在圆外,所以12+(-1)2+k-2+k2>0,所以k2+k>0,所以k>0或k<-1.答案:{k|k<-1或k>0}11.已知过点M(-3,0)的直线l被圆x2+(y+2)2=25所截得的弦长为8,那么直线l的方程为.解析:设直线方程为y=k(x+3)或x=-3,因为圆心坐标为(0,-2),圆的半径为5,所以圆心到直线的距离d==3,所以=3,所以k=,所以直线方程为y=(x+3),即5x-12y+15=0;直线x=-3,圆心到直线的距离d=|-3|=3,符合题意.答案:x=-3或5x-12y+15=012.已知直线ax+y-2=0与圆心为C的圆(x-1)2+(y-a)2=4相交于A,B两点,且△ABC为等边三角形,则实数a=.解析:依题意,圆C的半径是2,圆心C(1,a)到直线ax+y-2=0的距离等于×2=,于是有=,即a2-8a+1=0,解得a=4±.答案:4±13.当m为何值时,直线l:y=x+m与圆O:x2+y2=1(1)相交;(2)相切;(3)相离.解:由于圆心O(0,0),半径r=1,圆心O到直线l的距离d=.(1)若直线l与圆O相交,则dr,即>1,m<-或m>,故m的取值范围为(-∞,-)∪(,+∞).14.已知圆C的方程为(x-1)2+y2=9,求过M(-2,4)的圆C的切线方程.解:因为r=3,圆心C(1,0)到点M(-2,4)的距离d=5>r,所以点M(-2,4)在圆C外,切线有两条.(1)当切线的斜率存在时,设过点M(-2,4)的圆C的切线方程为y-4=k(x+2),即kx-y+2k+4=0.由圆心C(1,0)到切线的距离等于半径3,得=3.解得k=-,代入切线方程得7x+24y-82=0.(2)当切线的斜率不存在时,圆心C(1,0)到直线x=-2的距离等于半径3,所以x=-2也是圆C的切线方程.综上(1)(2),所求圆C的切线方程为x+2=0或7x+24y-82=0.15.设有一条光线从光源P(-2,4)射出,并且经x轴上一点Q(2,0)反射.(1)求入射光线和反射光线所在的直线方程(分别记为l1,l2);(2)设动直线l:x=my-2,当点M(0,-6)到l的距离最大时,求l,l1,l2所围成的三角形的内切圆(即圆心在三角形内,并且与三角形的三边相切的圆)的方程.解:(1)因为kPQ=-,所以入射光线l1:y=-(x-2),因为l1,l2...
