压轴大题抢分练(一)(建议用时：60分钟)1．已知抛物线y2＝2px(p＞0)上点M(3，m)到焦点F的距离为4.(1)求抛物线方程；(2)点P为准线上任意一点，AB为抛物线上过焦点的任意一条弦，设直线PA，PB，PF的斜率为k1，k2，k3，问是否存在实数λ，使得k1＋k2＝λk3恒成立．若存在，请求出λ的值；若不存在，请说明理由．[解](1)抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点为，准线为x＝－，由抛物线的定义可知：4＝3＋，p＝2，∴抛物线方程为y2＝4x.(2)由于抛物线y2＝4x的焦点F为(1,0)，准线为x＝－1，设直线AB：x＝my＋1，与y2＝4x联立，消去x，整理得：y2－4my－4＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(－1，t)，有易知k3＝－，而k1＋k2＝＋＝＝＝＝－t＝2k3，∴存在实数λ＝2，使得k1＋k2＝λk3恒成立．2．在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：＋y2＝1，点P(x1，y1)，Q(x2，y2)是椭圆C上两个动点，直线OP，OQ的斜率分别为k1，k2，若m＝，n＝，m·n＝0.(1)求证：k1·k2＝－；(2)试探求△OPQ的面积S是否为定值？并说明理由．[解](1)∵k1，k2存在，∴x1x2≠0，∵m·n＝0，m＝，n＝，∴＋y1y2＝0，∴k1·k2＝＝－.(2)①当直线PQ的斜率不存在，即x1＝x2，y1＝－y2时，由＝－得，－y＝0，又由P(x1，y1)在椭圆上，得＋y＝1，∴|x1|＝，|y1|＝.∴S△POQ＝|x1||y1－y2|＝1.②当直线PQ的斜率存在时，设直线PQ的方程为y＝kx＋b.由得(4k2＋1)x2＋8kbx＋4b2－4＝0，∴x1＋x2＝，x1x2＝.∵＋y1y2＝0，∴＋(kx1＋b)(kx2＋b)＝0，得2b2－4k2＝1，∴S△POQ＝··|PQ|＝|b|＝2|b|＝1.综上可得，△POQ的面积S为定值．3．已知f(x)＝xlnx.(1)求f(x)的最小值；(2)证明：对一切x∈(0，＋∞)都有lnx＞－.[解](1)f′(x)＝1＋lnx，在上，f′(x)＜0，f(x)递减，在上，f′(x)＞0，f(x)递增，所以f(x)在x＝时，取得最小值f＝－.(2)要证：lnx＞－只需证：xlnx＞－，因为f(x)＝xlnx在(0，＋∞)最小值为－，所以构造函数g(x)＝－(x＞0)，g′(x)＝，因此g(x)在(0,1)递增，在(1，＋∞)递减，所以g(x)最大值为g(1)＝－，又因为f(x)与g(x)的最值不同时取得，所以f(x)＞g(x)，即xlnx＞－，所以lnx＞－.4．已知函数f(x)＝lnx＋＋a.(1)若曲线f(x)在x＝1处的切线l过点(－1,0)，求a的值及切线l的方程；(2)若存在唯一整数x0，使得f(x0)＜0，求实数a的取值范围，并判断此时方程f(x)＝0的实根个数．[解](1)因为f′(x)＝－＋2，所以f(1)＝a＋6，f′(1)＝2，由曲线f(x)在x＝1处的切线过点(－1,0)，可得切线l的斜率k＝f′(1)＝，即＝2，所以a＝－2，且切线l的方程为y＝2(x＋1)，即2x－y＋2＝0.(2)由题可知：f′(x)＝(x＞0)，所以当x∈时，f′(x)＜0，f(x)单调递减，当x∈时，f′(x)＞0，f(x)单调递增．若存在唯一整数x0，使得f(x0)＜0，则x0＝1，所以即所以－ln2－≤a＜－6，所以实数a的取值范围为.结合f(x)在上单调递减，在上单调递增，且f(1)＜0，f(2)≥0，f＝e3＋＋a＞0，可知f(x)＝0在上及上各有1个实根，所以f(x)＝0有2个实根．
