第1讲等差数列与等比数列A级基础通关一、选择题1．(2019·全国卷Ⅰ)记Sn为等差数列{an}的前n项和．已知S4＝0，a5＝5，则()A．an＝2n－5B．an＝3n－10C．Sn＝2n2－8nD．Sn＝n2－2n解析：设首项为a1，公差为d.由S4＝0，a5＝5可得解得所以an＝－3＋2(n－1)＝2n－5，Sn＝n×(－3)＋×2＝n2－4n.答案：A2．(2019·长郡中学联考)已知数列{an}满足，an＋1＋2an＝0，且a2＝2，则{an}前10项的和等于()A.B．－C．210－1D．1－210解析：由题意得，an＋1＋2an＝0，则＝－2，即数列是公比为－2的等比数列，又a2＝2，所以a1＝－1，所以{an}前10项的和等于S10＝＝－.答案：B3．(2019·惠州一中月考)如果等差数列a1，a2，…，a8的各项都大于零，公差d≠0，则()A．a1＋a8＞a4＋a5B．a1a8＜a4a5C．a1＋a8＜a4＋a5D．a1a8＞a4a5解析：由a1＋a8＝a4＋a5，所以排除A、C.又a1·a8＝a1(a1＋7d)＝a＋7a1d，所以a4·a5＝(a1＋3d)(a1＋4d)＝a＋7a1d＋12d2＞a1·a8.答案：B4．(2017·全国卷Ⅲ)等差数列{an}的首项为1，公差不为0.若a2，a3，a6成等比数列，则{an}的前6项和为()A．－24B．－3C．3D．8解析：由已知条件可得a1＝1，d≠0，由a＝a2a6，可得(1＋2d)2＝(1＋d)(1＋5d)，解得d＝－2或d＝0(舍去)．所以S6＝6×1＋＝－24.答案：A5．(2019·佛山一中检测)已知公差d≠0的等差数列{an}满足a1＝1，且a2，a4－2，a6成等比数列，若正整数m，n满足m－n＝10，则am－an＝()A．30B．20C．10D．5或40解析：由题设得(a4－2)2＝a2a6.因为{an}是等差数列，且a1＝1，d≠0，所以(3d－1)2＝(1＋d)(1＋5d)，解得d＝3.从而am－an＝(m－n)d＝30.答案：A二、填空题6．(2019·北京卷)设等差数列{an}的前n项和为Sn.若a2＝－3，S5＝－10，则a5＝________，Sn的最小值为________．解析：因为a2＝a1＋d＝－3，S5＝5a1＋10d＝－10，所以a1＝－4，d＝1，所以a5＝a1＋4d＝0，所以an＝a1＋(n－1)d＝n－5.令an＜0，则n＜5，即数列{an}中前4项为负，a5＝0，第6项及以后为正，所以Sn的最小值为S4＝S5＝－10.答案：0－107．数列{an}满足an＋1＝，a3＝，则a1＝________．解析：易知an≠0，且an＋1＝，所以－＝2，则是公差为2的等差数列．由a3＝，知＝5，所以＋2×2＝5，则a1＝1.答案：18．(2019·雅礼中学调研)若数列{an}的首项a1＝2，且an＋1＝3an＋2(n∈N*)．令bn＝log3(an＋1)，则b1＋b2＋b3＋…＋b100＝________．解析：由an＋1＝3an＋2(n∈N*)可知an＋1＋1＝3(an＋1)，所以{an＋1}是以3为首项，3为公比的等比数列，所以an＋1＝3n，an＝3n－1.所以bn＝log3(an＋1)＝n，所以b1＋b2＋b3＋…＋b100＝＝5050.答案：5050三、解答题9．(2019·全国卷Ⅰ)记Sn为等差数列{an}的前n项和．已知S9＝－a5.(1)若a3＝4，求{an}的通项公式；(2)若a1＞0，求使得Sn≥an的n的取值范围．解：(1)设{an}的公差为d.由S9＝－a5得a1＋4d＝0.由a3＝4得a1＋2d＝4.于是a1＝8，d＝－2.因此{an}的通项公式为an＝10－2n.(2)由(1)得a1＝－4d，故an＝(n－5)d，Sn＝.由a1＞0知d＜0，故Sn≥an等价于n2－11n＋10≤0，解得1≤n≤10，所以n的取值范围是{n|1≤n≤10，n∈N*}．10．已知数列{an}是等比数列，并且a1，a2＋1，a3是公差为－3的等差数列．(1)求数列{an}的通项公式；(2)设bn＝a2n，记Sn为数列{bn}的前n项和，证明：Sn＜.(1)解：设等比数列{an}的公比为q，因为a1，a2＋1，a3是公差为－3的等差数列，所以即解得所以an＝a1qn－1＝8×＝24－n.(2)证明：因为＝＝，所以数列{bn}是以b1＝a2＝4为首项，为公比的等比数列．所以Sn＝＝·＜.B级能力提升11．(2019·广州调研)已知等差数列{an}的公差d≠0，且a1，a3，a13成等比数列，若a1＝1，Sn是数列{an}的前n项和，则(n∈N*)的最小值为()A．4B．3C．2－2D.解析：依题意a＝a1a13，即(1＋2d)2＝1＋12d，解得d＝2.因此an＝2n－1，Sn＝n2.则＝＝＝＝(n＋1)＋－2≥2－2＝4，当且仅当n＝2时取得最小值4.答案：A12．(2019·河北名校联考)已知数列{an}是等差数列，a2＝6，前n项和为Sn，{bn}是等比数列，b2＝2，a1b3＝12，S3＋b1＝19.(1)求{an}，{bn}的通项公式；(2)求数列{bncos(anπ)}的前n项和Tn.解：(1)因为数列{an}是等差数列，a2＝6，所以S3＋b1＝3a2＋b1＝18＋b1＝19，所以b1＝1.因为b2＝2，数列{bn}是等比数列，所以bn＝2n－1.所以b3＝4，因为a1b3＝12，所以a1＝3，因为a2＝6，数列{an}是等差数列，所以an＝3n.(2)由(1)得，令Cn＝bncos(anπ)＝(－1)n2n－1，所以Cn＋1＝(－1)n＋12n，所以＝－2.又C1＝－1，所以数列{bncos(anπ)}是以－1为首项、－2为公比的等比数列，所以Tn＝＝－[1－(－2)n]＝[(－2)n－1]．
