大题规范练(五)(满分70分，押题冲刺，70分钟拿到主观题高分)解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．1．(本小题满分12分)已知等比数列{an}的前n项和为Sn，且6Sn＝3n＋1＋a(n∈N*)．(1)求a的值及数列{an}的通项公式；(2)若bn＝(1－an)log3(a·an＋1)，求数列{}的前n项和Tn.解：(1) 6Sn＝3n＋1＋a(n∈N*)，∴当n＝1时，6S1＝6a1＝9＋a，当n≥2时，6an＝6(Sn－Sn－1)＝(3n＋1－a)－(3n＋a)＝2×3n，即an＝3n－1， {an}是等比数列，∴a1＝1，则9＋a＝6，得a＝－3，∴数列{an}的通项公式为an＝3n－1(n∈N*)．(2)由(1)得bn＝(1－an)log3(a·an＋1)＝(3n－2)(3n＋1)，∴＝＝，∴Tn＝＋＋…＋＝＋＋…＋＝＝.2．(本小题满分12分)如图，四边形ABCD与BDEF均为菱形，∠DAB＝∠DBE＝60°，设AC与BD相交于点O，且FA＝FC.(1)求证：平面FBC∥平面EAD；(2)求二面角AFCB的余弦值．解：(1)因为四边形ABCD与BDEF均为菱形，所以AD∥BC，DE∥BF.因为AD⊄平面FBC，DE⊄平面FBC，所以AD∥平面FBC，DE∥平面FBC.又AD∩DE＝D，AD⊂平面EAD，DE⊂平面EAD，所以平面FBC∥平面EAD.(2)如图所示，连接FO，FD，因为四边形BDEF为菱形，且∠DBF＝60°，所以△DBF为等边三角形．因为O为BD的中点，所以FO⊥BD.因为O为AC的中点，且FA＝FC，所以AC⊥FO.又AC∩BD＝O，所以FO⊥平面ABCD.由OA，OB，OF两两垂直，则以O为坐标原点OA，OB，OF所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系．设AB＝2，因为四边形ABCD为菱形，∠DAB＝60°，则BD＝2，OB＝1，OA＝OF＝，所以O(0,0,0)，A(，0,0)，B(0,1,0)，C(－，0,0)，F(0,0，)，CF＝(，0，)，CB＝(，1,0)．设平面BFC的法向量为n＝(x，y，z)，则有所以令x＝1，则n＝(1，－，－1)为平面BFC的一个法向量．因为OB⊥平面AFC，所以平面AFC的一个法向量为OB＝(0,1,0)．因为二面角AFCB为锐二面角，设其平面角为θ，则cosθ＝|cos〈n，OB〉|＝＝＝.所以二面角AFCB的余弦值为.3．(本小题满分12分)某公司为招聘新员工设计了一个面试方案：应聘者从6道备选题中一次性随机抽取3道题，按照题目要求独立完成．规定：至少正确完成其中2道题的便可通过．已知6道备选题中应聘者甲有4道题能正确完成，2道题不能完成；应聘者乙每题正确完成的概率都是，且每题正确完成与否互不影响．(1)分别求甲、乙两人正确完成面试题数的分布列及数学期望；(2)请分析比较甲、乙两人谁面试通过的可能性大？解：(1)设甲正确完成面试的题数为ξ，则ξ的可能取值为1,2,3.P(ξ＝1)＝＝；P(ξ＝2)＝＝；P(ξ＝3)＝＝.应聘者甲正确完成题数ξ的分布列为ξ123PE(ξ)＝1×＋2×＋3×＝2.设乙正确完成面试的题数为η，则η的可能取值为0,1,2,3.P(η＝0)＝C＝；P(η＝1)＝C＝；P(η＝2)＝C＝；P(η＝3)＝C＝.应聘者乙正确完成题数η的分布列为η0123PE(η)＝0×＋1×＋2×＋3×＝2.(或因为η～B，所以E(η)＝3×＝2)(2)因为D(ξ)＝(1－2)2×＋(2－2)2×＋(3－2)2×＝，D(η)＝3××＝.所以D(ξ)＜D(η)．综上所述，从做对题数的数学期望考查，两人水平相当；从做对题数的方差考查，甲较稳定；从至少完成2道题的概率考查，甲面试通过的可能性大．4．(本小题满分12分)已知抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点为F，若过点F且斜率为1的直线与抛物线相交于M，N两点，且|MN|＝8.(1)求抛物线C的方程；(2)设直线l为抛物线C的切线，且l∥MN，P为l上一点，求PM·PN的最小值．解：(1)由题意可知F，则直线MN的方程为：y＝x－，代入y2＝2px(p＞0)中，得x2－3px＋＝0，设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则有x1＋x2＝3p， |MN|＝8，∴x1＋x2＋p＝8，即3p＋p＝8，解得p＝2，∴抛物线的方程为y2＝4x.(2)设l的方程为y＝x＋b，代入y2＝4x中，得x2＋(2b－4)x＋b2＝0， l为抛物线C的切线，∴Δ＝0，即(2b－4)2－4b2＝0，解得b＝1，∴l：y＝x＋1.由(1)可知：x1＋x2＝6，x1x2＝1，设P(m，m＋1)，则PM＝(x1－m，y1－(m＋1))，PN＝(x2－m，y2－(m＋1))，∴PM·PN＝(x1－m)(x2－m)＋[y1－(m＋1)][y2－(m＋1)]＝x1x2－m(x1＋x2)＋m2＋y1y2－(m＋1)(y1＋y2)＋(m＋1)2. x1＋x2＝6，x1x2＝1，∴(y1y2)2＝16x1x2＝16，y1y2＝(x1－1)(x2－1)＝－4，...
