第37讲直接证明与间接证明课时达标一、选择题1．用反证法证明命题“若a＋b＋c为偶数，则自然数a，b，c恰有一个偶数”时，正确的反设为()A．自然数a，b，c都是奇数B．自然数a，b，c都是偶数C．自然数a，b，c中至少有两个偶数D．自然数a，b，c都是奇数或至少有两个偶数D解析“自然数a，b，c中恰有一个偶数”的否定是“自然数a，b，c都是奇数或至少有两个偶数”．故选D.2．分析法又称执果索因法，若用分析法证明“设a>b>c，且a＋b＋c＝0，求证
0B．a－c>0C．(a－b)(a－c)>0D．(a－b)(a－c)<0C解析＜a⇔b2－ac＜3a2⇔(a＋c)2－ac＜3a2⇔a2＋2ac＋c2－ac－3a2＜0⇔－2a2＋ac＋c2＜0⇔2a2－ac－c2＞0⇔(a－c)(2a＋c)＞0⇔(a－c)(a－b)＞0.3．(2019·焦作一中月考)若a，b∈R，则下面四个式子中恒成立的是()A．lg(1＋a2)＞0B．a2＋b2≥2(a－b－1)C．a2＋3ab＞2b2D.＜B解析在B项中，因为a2＋b2－2(a－b－1)＝(a2－2a＋1)＋(b2＋2b＋1)＝(a－1)2＋(b＋1)2≥0，所以a2＋b2≥2(a－b－1)恒成立．4．设f(x)是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f(x)单调递减，若x1＋x2＞0，则f(x1)＋f(x2)的值()A．恒为负值B．恒等于零C．恒为正值D．无法确定正负A解析由f(x)是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f(x)单调递减可知f(x)是R上的单调递减函数，由x1＋x2＞0可知x1＞－x2，f(x1)＜f(－x2)＝－f(x2)，则f(x1)＋f(x2)＜0.5．已知a>b>0，且ab＝1，若0qB．p0，则三个数＋，＋，＋()A．都大于2B．至少有一个大于2C．至少有一个不小于2D．至少有一个不大于2C解析因为x＞0，y＞0，z＞0，所以＋＋＝＋＋≥6，当且仅当x＝y＝z时，等号成立，则三个数中至少有一个不小于2.故选C.二、填空题7．设a＝＋2，b＝2＋，则a，b的大小关系为________．解析a＝＋2，b＝2＋将两式的两边分别平方，可得a2＝11＋4，b2＝11＋4，显然＜.所以a＜b.答案a＜b8．用反证法证明命题“若实数a，b，c，d满足a＋b＝c＋d＝1，ac＋bd>1，则a，b，c，d中至少有一个是非负数”时，第一步要假设结论的否定成立，那么结论的否定是________________．解析“至少有一个”的否定是“一个也没有”，故结论的否定是“a，b，c，d中没有一个是非负数，即a，b，c，d全是负数”．答案a，b，c，d全是负数9．(2019·郑州一模)某题字迹有污损，大致内容是“已知|x|≤1，，用分析法证明|x＋y|≤|1＋xy|”．估计污损部分的文字内容为________．解析要证|x＋y|≤|1＋xy|，需证(x＋y)2≤(1＋xy)2，化简得x2＋y2≤1＋x2y2，(x2－1)(1－y2)≤0，因为|x|≤1，又要证得不等式成立，所以估计污损部分的文字内容为“|y|≤1”．答案|y|≤1三、解答题10．(2019·永州一中月考)已知a≥b＞0，求证：2a3－b3≥2ab2－a2b.证明欲要证2a3－b3≥2ab2－a2b成立，只需证2a3－b3－2ab2＋a2b≥0，即证2a(a2－b2)＋b(a2－b2)≥0，即证(a＋b)(a－b)(2a＋b)≥0.因为a≥b＞0，所以a－b≥0，a＋b＞0,2a＋b＞0，从而(a＋b)(a－b)(2a＋b)≥0成立，所以2a3－b3≥2ab2－a2b.11．(2019·黄石二中期中)已知四棱锥S－ABCD中，底面是边长为1的正方形，又SB＝SD＝，SA＝1.(1)求证：SA⊥平面ABCD；(2)在棱SC上是否存在异于S，C的点F，使得BF∥平面SAD？若存在，确定点F的位置；若不存在，请说明理由．解析(1)证明：由已知得SA2＋AD2＝SD2，所以SA⊥AD.同理SA⊥AB.又AB∩AD＝A，所以SA⊥平面ABCD.(2)假设在棱SC上存在异于S，C的点F，使得BF∥平面SAD.因为BC∥AD，BC⊄平面SAD，所以BC∥平面SAD.而BC∩BF＝B，所以平面FBC∥平面SAD.这与平面SBC和平面SAD有公共点S矛盾，所以假设不成立．所以不存在这样的点F，使得BF∥平面SAD.12．已知数列{an}满足a1＝，且an＋1＝(n∈N*)．(1)证明：数列是等差数列，并求数列{an}的通项公式；(2)设bn＝anan＋1(n∈N*)，数列{bn}的前n项和记为Tn，证明：Tn＜.解析(1)由已知可得当n∈N*时，an＋1＝，两边取倒数得＝＝＋3，即－＝3，所以数列是首项为＝2，公差为3的等差数列，其通项...
