必修4学业水平达标检测时间：120分钟满分：150分一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知角α的终边经过点P(4，－3)，则2sinα＋cosα的值等于()A．－B.C.D．－解析：据三角函数的定义可知sinα＝－，cosα＝，∴2sinα＋cosα＝－＋＝－.答案：D2．tan(－570°)＋sin240°＝()A．－B.C.D.解析：原式＝－tan30°－sin60°＝－－＝－.答案：A3．已知α为第二象限角，sinα＝，则sin2α＝()A．－B．－C.D.解析： α为第二象限角，sinα＝，则cosα＝－，∴sin2α＝2sinαcosα＝－.答案：A4．已知向量a＝(1,1)，b＝(2，x)，若a＋b与4b－2a平行，则实数x的值是()A．－2B．0C．1D．2解析：a＋b＝(3，x＋1)，4b－2a＝(6,4x－2)， a＋b与4b－2a平行，∴3(4x－2)＝6(x＋1)，解得x＝2.答案：D5．函数y＝sinx＋cosx，x∈[0，π]的单调增区间是()A.B.，C.D.解析：y＝sinx＋cosx＝sin.令2kπ－≤x＋≤2kπ＋，k∈Z，得2kπ－≤x≤2kπ＋，k∈Z.又 x∈[0，π]，∴单调增区间是.答案：A6．为了得到函数y＝sin(－3x)的图象，只需将函数y＝cos的图象()A．向右平移个单位B．向左平移个单位C．向右平移个单位D．向左平移个单位解析：y＝sin(－3x)＝cos＝cos3，y＝cos＝cos3，∴需向左平移－＝个单位．答案：D7．函数y＝－cos2x＋cosx＋，则()A．最大值是1，最小值是B．最大值是1，最小值是－C．最大值是2，最小值是－D．最大值是2，最小值是解析：y＝－cos2x＋cosx＋＝－2＋2，∴当cosx＝时，ymax＝2，当cosx＝－1时，ymin＝－.答案：C8．如图所示，D是△ABC的边AB上的中点，则向量CD＝()A．－BC＋BAB．－BC－BAC.BC－BA1D.BC＋BA解析：CD＝CB＋BD＝CB＋BA＝－BC＋BA.答案：A9．已知函数y＝sin(ωx＋φ)(ω＞0，|φ|＜)的部分图象如图所示，则此函数的解析式为()A．y＝sinB．y＝sinC．y＝sinD．y＝sin解析：由图知＝－＝，∴T＝π，ω＝＝2.又2×＋φ＝π，∴φ＝，∴y＝sin.答案：B10．在△ABC中，已知tan＝sinC，则△ABC的形状为()A．正三角形B．等腰三角形C．直角三角形D．等腰直角三角形解析：在△ABC中，tan＝sinC＝sin(A＋B)＝2sincos，∴2cos2＝1，∴cos(A＋B)＝0，从而A＋B＝，△ABC为直角三角形．答案：C11．已知|a|＝2，|b|＝3，a，b的夹角为，如图所示，若AB＝5a＋2b，AC＝a－3b，且D为BC中点，则AD的长度为()A.B.C．7D．8解析：AD＝(AB＋AC)＝(5a＋2b＋a－3b)＝(6a－b)∴|AD|2＝(36a2－12ab＋b2)＝∴|AD|＝.故选A.答案：A12．已知不等式f(x)＝3sin·cos＋cos2－＋m≤0，对于任意的－≤x≤恒成立，则实数m的取值范围是()A．m≥B．m≤C．m≤－D．－≤m≤解析：f(x)＝3sin·cos＋cos2－＋m＝sin＋－＋m＝sin＋cos＋m＝＋m＝sin＋m故要使f(x)≤0对任意的－≤x≤恒成立，只需m≤－sin在－≤x≤上恒成立． －≤x≤，－≤＋≤，∴min＝－，∴m≤－.答案：C二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知tanθ＝2，则＝________.解析：原式＝＝＝＝－2.答案：－214．设向量a＝(3，－2)，b＝(1,2)，若a＋λb与a垂直，则实数λ＝________.解析：若a＋λb与a垂直，则(a＋λb)·a＝0，即a2＋λ·ab＝0.a2＝13，a·b＝－1.所以13－λ＝0，即λ＝13.答案：1315．函数y＝sincos的最大值为________．2解析：y＝sincos＝－cosxcos＝－cosx＝－cos2x－sin2x＝－－＝－－sin，所以函数y＝sincos的最大值为－＋.答案：－＋16．函数f(x)＝sin＋sinx的图象相邻的两条对称轴之间的距离是________．解析：f(x)＝cosx＋sinx＝sin，相邻的两条对称轴之间的距离是半个周期，T＝＝3π，∴＝.答案：π三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．(本小题满分10分)设向量a，b满足|a|＝|b|＝1及|3a－2b|＝.(1)求a，b的夹角θ；(2)求|3a＋b|的值．解析：(1)由已知得(3a－2b)2＝7，即9|a|2－12a·b＋4|b|2＝7，又|a|＝1，|b|＝1代入得a·b＝.∴|a||b|cosθ＝，即cosθ＝，(4分)又θ∈[0，π]，∴θ＝.∴向量a，b的夹角θ＝.(8分)(2)由(1)知，(3a＋b)2＝9|a|2＋6a·b＋|b|2＝9＋3＋1＝13.∴|3a＋...
