单元质检卷四三角函数、解三角形(B)(时间:45分钟满分:100分)一、选择题(本大题共6小题,每小题7分,共42分)1.(2018河北衡水中学16模,2)已知集合P={-1,0,❑√2},Q={y|y=sinθ,θ∈R},则P∩Q=()A.⌀B.{0}C.{-1,0}D.{-1,0,❑√2}2.(2018陕西宝鸡中学三模,3)角α的终边与单位圆交于点(-❑√55,2❑√55),则cos2α=()A.15B.-15C.35D.-353.(2018山东烟台期中)若sin(π6-α)=13,则cos(2π3+2α)=()A.-79B.-13C.13D.794.(2018河北衡水中学三模,8)已知函数f(x)=sin2ωx-12(ω>0)的周期为π,若将其图像沿x轴向右平移a个单位(a>0),所得图像关于原点对称,则实数a的最小值为()A.π4B.π2C.3π4D.π5.(2018河北衡水八模,11)在△ABC中,三个内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若△ABC的面积为S,且4S=(a+b)2-c2,则sin(π4+C)等于()A.1B.-❑√22C.❑√22D.❑√326.(2018河北衡水中学金卷一模,10)已知函数f(x)=-2cosωx(ω>0)的图像向左平移φ(0<φ<π2)个单位,所得的部分函数图像如图所示,则φ的值为()A.π6B.5π6C.π12D.5π12二、填空题(本大题共2小题,每小题7分,共14分)7.在△ABC中,a、b、c分别是角A、B、C的对边,△ABC的面积为S,(a2+b2)tanC=8S,则sin2A+sin2Bsin2C=.8.(2018河北衡水中学押题二,14)已知点A(-1,0),B(1,0),若圆x2+y2-8x-6y+25-m=0上存在点P使⃗PA·⃗PB=0,则m的最小值为.三、解答题(本大题共3小题,共44分)9.(14分)(2018浙江五校联考)已知函数f(x)=(sinx+❑√3cosx)(cosx-❑√3sinx).(1)求函数f(x)的递增区间;(2)若f(x0)=65,x0∈[0,π2],求cos2x0的值.10.(15分)(2018河南濮阳一模,17)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知函数f(x)=2❑√3sinxcosx+sin2x-cos2x,当x=A时f(x)取得最大值.(1)求角A的大小;(2)若a=2,求BC边的中线AD长度的最大值.11.(15分)(2018河北衡水中学三模,19)已知函数f(x)=2sin2(x+π4)−❑√3cos2x,x∈π4,π2.设x=α时f(x)取得最大值.(1)求f(x)的最大值及α的值;(2)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,A=α-π12,且sinBsinC=sin2A,求b-c的值.参考答案单元质检卷四三角函数、解三角形(B)1.C∵Q={y|y=sinθ,θ∈R},∴Q={y|-1≤y≤1},∵P={-1,0,❑√2},∴P∩Q={-1,0},故选C.2.D∵角α的终边与单位圆交于点(-❑√55,2❑√55),到原点的距离r=1,∴cosα=-❑√55,则cos2α=2cos2α-1=-35.故选D.3.Acos(2π3+2α)=cos[π-(π3-2α)]=-cos(π3-2α)=-1+2sin2(π6-α)=-79.故选A.4.A原函数化简为f(x)=-12cos2ωx,∵周期为π,可得ω=1,∴f(x)=-12cos2x,平移后得到函数f(x-a)=-12cos(2x-2a),由图像关于原点对称,可知为奇函数.∴2a=π2+kπ,k∈Z,即a=π4+kπ2,k∈Z,又因为a>0,∴a的最小值为π4.故选A.5.C∵S=12absinC,cosC=a2+b2-c22ab,∴2S=absinC,a2+b2-c2=2abcosC,代入已知等式得2absinC=2abcosC+2ab,∵ab≠0,∴sinC=cosC+1,∴cosC=0,∴sinC=1,则sin(π4+C)=❑√22(sinC+cosC)=❑√22.故选C.6.C由题知,T=2(11π12-5π12)=π,∴ω=2πT=2,∴f(x)=-2cos2x,∴f(x+φ)=-2cos(2x+2φ),∴f(5π12+φ)=-2cos(5π6+2φ)=2,故5π6+2φ=π+2kπ(k∈Z),∴φ=π12+kπ(k∈Z).又0<φ<π2,∴φ=π12.7.2∵(a2+b2)tanC=8S,∴(a2+b2)sinC=8×12absinC×cosC,即a2+b2=4abcosC=4ab·a2+b2-c22ab,可得:a2+b2=2c2,由正弦定理得sin2A+sin2Bsin2C=a2+b2c2=2.8.16圆的方程即:(x-4)2+(y-3)2=m,设圆上的点P的坐标为(4+❑√mcosθ,3+❑√msinθ),则⃗PA=(-5-❑√mcosθ,-3-❑√msinθ),⃗PB=(-3-❑√mcosθ,-3-❑√msinθ),计算可得:⃗PA·⃗PB=(24+m)+10❑√msin(θ+φ)=0,sin(θ+φ)=-24+m10❑√m,由正弦函数的性质有:-1≤-24+m10❑√m≤1,求解关于实数m的不等式可得:16≤m≤36,则m的最小值为16.9.解(1)f(x)=(sinx+❑√3cosx)(cosx-❑√3sinx)=sinxcosx-❑√3sin2x+❑√3cos2x-3sinxcosx=❑√3cos2x-sin2x=2sin(2x+2π3),由-π2+2kπ≤2x+2π3≤π2+2kπ,k∈Z,得kπ-7π12≤x≤kπ-π12,k∈Z,所以,函数f(x)的递增区间为kπ-7π12,kπ-π12(k∈Z).(2)由f(x0)=2sin(2x0+2π3)=65,得sin(2x0+2π3)=35,又x0∈[0,π2],所以2x0+2π3∈[2π3,π],所以cos(2x0+2π3)=-45,所以cos2x0=cos[(2x0+2π3)-2π3]=(-45)×(-12)+35×❑√32=4+3❑√310.10.解(1)f(x)=❑√3sin2x-cos2x=2sin(2x-π6).若x=A时f(x)取得最大值,因为A∈(0,π),所以2A-π6∈(-π6,11π6),则2A-π6=π2,即A=π3.(2)由(1)可知A=π3,又a=2,可得b2+c2-bc=4.又因为2⃗AD=⃗AB+⃗AC,平方可得4⃗AD2=b2+c2+bc=2bc+4,因为b2+c2≥2bc,当且仅当b=c=2时取等号.所以bc≤4,所以AD长度的最大值为❑√3.11.解(1)由题意,f(x)=[1-cos(2x+π2)]-❑√3cos2x=1+sin2x-❑√3cos2x=1+2sin(2x-π3).又x∈[π4,π2],则π6≤2x-π3≤2π3,故当2x-π3=π2,即x=α=5π12时,f(x)max=3.(2)由(1)知A=α-π12=π3.由sinBsinC=sin2A,即bc=a2.又a2=b2+c2-2bccosA=b2+c2-bc.则b2+c2-bc=bc,即(b-c)2=0.故b-c=0.
