课时素养评价三正弦定理与余弦定理的应用(25分钟·50分)一、选择题(每小题4分,共16分)1.海上有A,B两个小岛相距10nmile,从A岛望C岛和B岛成60°的视角,从B岛望C岛和A岛成75°的视角,则B,C间的距离是()A.10nmileB.nmileC.5nmileD.5nmile【解析】选D.在△ABC中C=180°-60°-75°=45°.由正弦定理得=,所以=,解得BC=5(nmile).2.(2019·濮阳高二检测)在相距2km的A,B两点处测量目标点C,若∠CAB=75°,∠CBA=60°,则A,C两点之间的距离为()A.kmB.kmC.kmD.2km【解析】选A.如图,在△ABC中,由已知可得∠ACB=45°,所以=,所以AC=2×=(km).3.(2019·太原高二检测)在某个位置测得某山峰仰角为θ,对着山峰在地面上前进600m后测得仰角为2θ,继续在地面上前进200m以后测得山峰的仰角为4θ,则该山峰的高度为()A.200mB.300mC.400mD.100m【解析】选B.方法一:如图,△BED,△BDC为等腰三角形,1BD=ED=600m,BC=DC=200m.在△BCD中,由余弦定理可得cos2θ==,又因为0°<2θ<180°,所以2θ=30°,4θ=60°.在Rt△ABC中,AB=BC·sin4θ=200×=300(m).方法二:由于△BCD是等腰三角形,所以BD=DCcos2θ,即300=200cos2θ,所以cos2θ=,又0°<2θ<180°,所以2θ=30°,4θ=60°.在Rt△ABC中,AB=BC·sin4θ=200×=300(m).4.设甲、乙两幢楼相距20m,从乙楼底望甲楼顶的仰角为60°,从甲楼顶望乙楼顶的俯角为30°,则甲、乙两幢楼的高分别是()A.20m,mB.10m,20mC.10(-)m,20mD.m,m【解析】选A.由题意知h甲=20tan60°=20(m),h乙=20tan60°-20tan30°=(m).二、填空题(每小题4分,共8分)5.某人从A处出发,沿北偏东60°行走3km到B处,再沿正东方向行走2km到C处,则A,C两地的距离为________km.【解析】如图所示,由题意可知AB=3,BC=2,∠ABC=150°.2由余弦定理得AC2=27+4-2×3×2×cos150°=49,AC=7.则A,C两地的距离为7km.答案:76.如图所示,为了测定河的宽度,在一岸边选定两点A,B,望对岸标记物C,测得∠CAB=30°,∠CBA=75°,AB=120m,则河的宽度为________m.【解析】在△ABC中,∠CAB=30°,∠CBA=75°,所以∠ACB=75°,∠ACB=∠ABC,所以AC=AB=120(m).如图作CD⊥AB,垂足为D,则CD即为河的宽度.由正弦定理得=,所以=,所以CD=60,所以河的宽度为60m.答案:60三、解答题(共26分)7.(12分)如图所示,在高出地面30m的小山顶上建造一座电视塔CD,今在距离B点60m的地面上取一点A,若测得∠CAD=45°,求此电视塔的高度.【解析】设CD=xm,∠BAC=α,则在△ABC中,tanα==.因为∠DAB=45°3+α,tan∠DAB===tan(45°+α),又tan(45°+α)==3,所以=3,解得x=150.所以电视塔的高度为150m.8.(14分)(2019·南京高二检测)如图,甲船以每小时30海里的速度向正北方向航行,乙船按固定方向匀速直线航行,当甲船位于A1处时,乙船位于甲船的北偏西105°方向的B1处,此时两船相距20海里,当甲船航行20分钟到达A2处时,乙船航行到甲船的北偏西120°方向的B2处,此时两船相距10海里,求乙船航行的速度.世纪【解析】如图,连接A1B2,在△A1A2B2中,易知∠A1A2B2=60°,又易求得A1A2=30×=10=A2B2,所以△A1A2B2为正三角形,所以A1B2=10.在△A1B1B2中,易知∠B1A1B2=45°,所以(B1B2)2=400+200-2×20×10×=200,所以B1B2=10,所以乙船每小时航行30海里.(15分钟·30分)41.(4分)要测量底部不能到达的东方明珠电视塔的高度,在黄浦江西岸选择甲、乙两观测点,在甲、乙两点测得塔顶的仰角分别为45°,30°,在水平面上测得电视塔与甲地连线及甲、乙两地连线所成的角为120°,甲、乙两地相距500m,则电视塔在这次测量中的高度是()A.100mB.400mC.200mD.500m【解析】选D.由题意画出示意图,设高AB=h,在Rt△ABC中,由已知得BC=h,在Rt△ABD中,由已知得BD=h,在△BCD中,由余弦定理得BD2=BC2+CD2-2BC·CD·cos∠BCD,即3h2=h2+5002+h·500,解得h=500或h=-250(舍).2.(4分)如图所示为起重机装置示意图.支杆BC=10m,吊杆AC=15m,吊索AB=5m,则起吊的货物与岸的距离AD为()A.30mB.mC.15mD.45m【解析】选B.在△ABC中,AC=15m,AB=5m,BC=10m,由余弦定理得cos∠ACB=5==-,所以sin∠ACB=.又∠ACB+∠ACD=180°,所以sin∠ACD=sin∠ACB=.在Rt△ADC中,AD=AC·sin∠ACD=15×=m.3.(4分)如图,A,B两地之间有一座山,汽车原来从A地到B地须经C地沿折线A-C-B行驶,现开通...
