常见数学思想在集合与简易逻辑中的应用陈显宏［作者简介］陈显宏，湖北省襄樊市数学学会会员，国家数学奥林匹克竞赛教练员。多年来一直致力于高中数学教学，深刻钻研教材教法，坚持不懈地研究解题方略并灵活应用于教学实际中，连续五年执教高三数学，高考成绩斐然。愿以“人生在勤，不索何获”与各位朋友共勉！集合与简易逻辑是高中数学的重要组成部分，其中许多问题的解决均涉及到对基本能力的考查。本文通过具体例子引导同学们利用常见数学思想解决集合与简易逻辑中的有关问题，充分体验适当应用数学思想带来的事半功倍的效果。一、转化与化归思想在解决数学问题时，常遇到一些直接求较为困难的问题，这时，需将原问题化成一个新问题（相对来说较熟悉的问题），通过新问题的求解，达到解决原问题的目的。这一思想方法称为转化与化归思想。例1.（1）设集合A＝{1，2}，则满足的集合B的个数是（）。A.1B.3C.4D.8（2）设集合，那么“”是“”的（）。A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件（3）已知条件，条件则的_________条件。解析：（1）A＝{1，2}，，则集合B中必含有元素3，即此题可转化为求集合的子集个数问题，所以满足题目条件的集合B共有（个），应选C。（2）将问题转化为两集合的关系。因为，所以“”是“”的充分不必要条件，即“”是“”的必要不充分条件，应选B。（3）由原命题与其逆否命题是等价命题，知“的什么条件”等价转化为“q是p的什么条件”。由于，所以q是p的充分不必要条件，即的充分不必要条件。这里要注意判断充要条件时等价转化的途径。二、数形结合思想在解决数学问题时，根据问题的背景和条件，使“数”的问题，借助“形”去观察，而“形”的问题，借助“数”去思考。采用这种数形结合来解决数学问题的策略称为数形结合思想。而解决集合的运算问题时，数轴、坐标系、韦恩图都是有力的“形”。例2.（1）已知集合，子集S、T满足，则有（）。A.B.C.D.（2）已知全集且，则等于（）。A.B.（2，3）C.D.（－1，4）解析：（1）利用韦恩图，如图1所示，易得答案为B。（2）由，利用数轴，如图2所示，便迅速得，故选C。三、分类讨论思想在研究与解决数学问题时，根据数学对象的本质属性的相同点和不同点，将对象区分为不同类型，然后逐类进行研究与解决，从而达到解决问题的目的。这就是分类讨论思想。例3.设集合则下列关系中成立的是（）A.PQB.QPC.P＝QD.解析：先化简集合Q，求得m的取值范围，再分类讨论。由对任意实数x恒成立，可得：①当时，恒成立，满足题意；②当时，有即解得综上知，可得PQ，应选A。说明：这里易忽视的情况，从而造成错解。因此，分类时要全面，做到不重不漏。
