课后提升作业二十八二倍角的正弦、余弦、正切公式(45分钟70分)一、选择题(每小题5分,共40分)1.(2016·北京高一检测)等于()A.-B.-C.D.【解析】选D.原式=cos2-sin2=cos=.【补偿训练】sin4-cos4等于()A.-B.-C.D.【解析】选B.原式=·=-=-cos=-.2.tan67°30′-的值为()A.1B.C.2D.4【解析】选C.tan67°30′-====2.【补偿训练】的值是()A.B.C.2D.【解析】选C.原式===2.3.(2016·杭州高一检测)化简的结果是()A.B.tan2αC.D.tanα【解题指南】将4α看成2α的二倍.并利用公式1-cos4α=2sin22α,1+cos4α=2cos22α化简.【解析】选B.原式===tan2α.4.已知sin(45°+α)=,则sin2α等于()A.-B.-C.D.【解析】选C.因为sin(45°+α)=,所以cosα+sinα=,即sinα+cosα=.故1+sin2α=,即sin2α=.5.设a=cos6°-sin6°,b=2sin13°·cos13°,c=,则有()A.c
0,所以sin2θ=.【补偿训练】若cos2θ=,试求sin4θ+cos4θ.【解析】因为cos2θ=,所以sin22θ=.所以sin4θ+cos4θ=1-2sin2θcos2θ=1-sin22θ=.8.化简+2sin2等于()A.2B.3C.D.【解析】选A.原式=1+sinα+2·=1+sinα+1-sinα=2.二、填空题(每小题5分,共10分)9.(2016·四川高考)cos2-sin2=.【解析】由题可知,cos2-sin2=cos=.答案:10.(2015·浙江高考)函数f(x)=sin2x+sinxcosx+1的最小正周期是,单调递减区间是.【解题指南】先利用倍角公式化简f(x),再利用三角函数的性质求解.【解析】f(x)=sin2x+sinxcosx+1=+sin2x+1=sin+,所以最小正周期为T==π,由+2kπ≤2x-≤+2kπ(k∈Z),解得+kπ≤x≤+kπ,k∈Z,所以单调递减区间为,k∈Z.答案:π,k∈Z三、解答题(每小题10分,共20分)11.化简:.【解题指南】解答此题的难点在于用二倍角公式变形后利用两角和与差的正、余弦公式化简,得到特殊角的三角函数求出值即可.【解析】原式=====.12.(2016·开封高一检测)已知sin2α=-sinα,α∈.(1)求tan2α.(2)求cos.【解析】(1)因为sin2α=-sinα,所以2sinαcosα=-sinα,α∈,所以cosα=-,故sinα==,所以tanα==-,所以tan2α===.(2)由(1)知cosα=-,所以cos2α=2cos2α-1=2×-1=-,sin2α=2sinαcosα=-,所以cos=coscos2α+sinsin2α=--×=-.【能力挑战题】某同学在一次研究性学习中发现,以下五个式子的值都等于同一个常数:①sin213°+cos217°-sin13°cos17°;②sin215°+cos215°-sin15°cos15°;③sin218°+cos212°-sin18°cos12°;④sin2(-18°)+cos248°-sin(-18°)cos48°;⑤sin2(-25°)+cos255°-sin(-25°)cos55°.(1)请根据②式求出这个常数.(2)根据(1)的计算结果,将该同学的发现推广为三角恒等式,并证明你的结论.【解析】方法一:(1)计算如下:sin215°+cos215°-sin15°cos15°=1-sin30°=1-=.(2)三角恒等式为sin2α+cos2(30°-α)-sinαcos(30°-α)=.证明如下:sin2α+cos2(30°-α)-sinαcos(30°-α)=sin2α+(cos30°cosα+sin30°sinα)2-sinα(cos30°cosα+sin30°sinα)=sin2α+cos2α+sinαcosα+sin2α-sinαcosα-sin2α=sin2α+cos2α=.方法二:(1)同方法一.(2)三角恒等式为sin2α+cos2(30°-α)-sinαcos(30°-α)=.证明如下:sin2α+cos2(30°-α)-sinαcos(30°-α)=+-sinα(cos30°cosα+sin30°sinα)=-cos2α++(cos60°cos2α+sin60°sin2α)-sinαcosα-sin2α=-cos2α++cos2α+sin2α-sin2α-(1-cos2α)=1-cos2α-+cos2α=.
