2018年高考数学一轮复习不等式选讲课时达标71不等式的证明理[解密考纲]不等式的证明以解答题进行考查，主要考查综合法、比较法，还常用柯西不等式证明不等式或求最值．1．已知a，b都是正数，且a≠b，求证：a3＋b3>a2b＋ab2.证明：(a3＋b3)－(a2b＋ab2)＝(a＋b)(a－b)2.因为a，b都是正数，所以a＋b>0.又因为a≠b，所以(a－b)2>0.于是(a＋b)(a－b)2>0，即(a3＋b3)－(a2b＋ab2)>0，所以a3＋b3>a2b＋ab2.2．已知a，b，c都是正数，求证：≥abc.证明：因为b2＋c2≥2bc，a2>0，所以a2(b2＋c2)≥2a2bc①，同理，b2(a2＋c2)≥2ab2c②，c2(a2＋b2)≥2abc2③，①②③相加得2(a2b2＋b2c2＋c2a2)≥2a2bc＋2ab2c＋2abc2，从而a2b2＋b2c2＋c2a2≥abc(a＋b＋c)．由a，b，c都是正数，得a＋b＋c>0，因此≥abc.3．(2017·安徽联考)已知函数f(x)＝|x|－|2x－1|，记f(x)>－1的解集为M.(1)求M；(2)已知a∈M，比较a2－a＋1与的大小．解析：(1)f(x)＝|x|－|2x－1|＝由f(x)>－1，得，或或解得0
0，所以a2－a＋1>，综上所述：当0.4．(2017·江西赣州一模)设a，b为正实数，且＋＝2.(1)求a2＋b2的最小值；(2)若(a－b)2≥4(ab)3，求ab的值．解析：(1)由2＝＋≥2得ab≥，当a＝b＝时取等号．故a2＋b2≥2ab≥1，当a＝b＝时取等号．所以a2＋b2的最小值是1.(2)由(a－b)2≥4(ab)3得2≥4ab.即2－≥4ab，从而ab＋≤2.又a，b为正实数，所以ab＋≥2，所以ab＋＝2，所以ab＝1.5．已知a，b∈(0，＋∞)，a＋b＝1，x1，x2∈(0，＋∞)．(1)求＋＋的最小值；(2)求证：(ax1＋bx2)(ax2＋bx1)≥x1x2.解析：(1)因为a，b∈(0，＋∞)，a＋b＝1，x1，x2∈(0，＋∞)，所以＋＋≥3·＝3·≥3·＝3×＝6，当且仅当＝＝且a＝b，即a＝b＝且x1＝x2＝1时，＋＋有最小值6.(2)证明：因为a，b∈(0,＋∞)，a＋b＝1，x1，x2∈(0，＋∞)，所以(ax1＋bx2)(ax2＋bx1)＝a2x1x2＋abx＋abx＋b2x1x2＝x1x2(a2＋b2)＋ab(x＋x)≥x1x2(a2＋b2)＋ab(2x1x2)＝x1x2(a2＋b2＋2ab)＝x1x2(a＋b)2＝x1x2，当且仅当x1＝x2时，取得等号．所以(ax1＋bx2)(ax2＋bx1)≥x1x2.6．(2017·东北三校二模)已知a，b，c>0，a＋b＋c＝1.求证：(1)＋＋≤；(2)＋＋≥.证明：(1)∵由柯西不等式得(＋＋)2＝(1·＋1·＋1·)2≤(12＋12＋12)·[()2＋()2＋()2]＝3，当且仅当＝＝，即a＝b＝c＝时等号成立，∴＋＋≤.(2)∵由柯西不等式得[(3a＋1)＋(3b＋1)＋(3c＋1)]≥2＝9(当且仅当a＝b＝c＝时取等号)，又a＋b＋c＝1，∴6≥9，∴＋＋≥.7．已知a，b，c∈(0，＋∞)，求证：2≤3.证明：欲证2≤3，只需证a＋b－2≤a＋b＋c－3，即证c＋2≥3，∵a，b，c∈(0，＋∞)，∴c＋2＝c＋＋≥3＝3，∴c＋2≥3成立，故原不等式成立．8．已知x＋y>0，且xy≠0.(1)求证：x3＋y3≥x2y＋y2x；(2)如果＋≥恒成立，试求实数m的取值范围或值．解析：(1)证明：∵x3＋y3－(x2y＋y2x)＝x2(x－y)－y2(x－y)＝(x＋y)(x－y)2，且x＋y>0，(x－y)2≥0，∴x3＋y3－(x2y＋y2x)≥0.∴x3＋y3≥x2y＋y2x.(2)①若xy<0，则＋≥等价于≥＝，又∵＝<＝－3，即<－3，∴m>－6；②若xy>0，则＋≥等价于≤＝，又∵≥＝1，即≥1，∴m≤2.综上所述，实数m的取值范围是(－6,2]．
