§6.3等比数列1．等比数列的定义一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的等于同一，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的，通常用字母q表示(q≠0)．2．等比中项如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的，且G2＝或G＝.3．等比数列的通项公式(1)若{an}是等比数列，则通项an＝或an＝.当n－m为大于1的奇数时，q用an，am表示为q＝；当n－m为正偶数时，q＝．(2)an＝a1qn－1可变形为an＝Aqn，其中A＝；点(n，an)是曲线上一群孤立的点．4．等比数列的前n项和公式等比数列{an}中，Sn＝求和公式的推导方法是：，为解题的方便，有时可将求和公式变形为Sn＝Bqn－B(q≠1)，其中B＝且q≠0，q≠1.5．等比数列的判定方法(1)定义法：an＋1＝anq且a1≠0(q是不为0的常数，n∈N*)⇔{an}是等比数列．(2)通项公式法：an＝cqn(c，q均是不为0的常数，n∈N*)⇔{an}是等比数列．(3)等比中项法：a＝an·an＋2(an·an＋1·an＋2≠0，n∈N*)⇔{an}是等比数列．(4)前n项和公式法：Sn＝qn－＝Bqn－B⇒{an}是等比数列．6．等比数列的性质(1)在等比数列中，若p＋q＝m＋n，则ap·aq＝am·an；若2m＝p＋q，则a＝ap·aq(p，q，m，n∈N*)．(2)若{an}，{bn}均为等比数列，且公比分别为q1，q2，则数列，{p·an}(p≠0)，{an·bn}，仍为等比数列且公比分别为，，，.(3)在等比数列中，按序等距离取出若干项，也构成一个等比数列，即an，an＋m，an＋2m，…仍为等比数列，公比为．(4)公比不为－1的等比数列前n项和为Sn(Sn≠0)，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…构成等比数列，且公比为．(5)对于一个确定的等比数列，在通项公式an＝a1qn－1中，an是n的函数，这个函数由正比例函数an＝·u和指数函数u＝qn(n∈N*)复合而成．①当a1＞0，或a1＜0，时，等比数列{an}是递增数列；②当a1＞0，或a1＜0，时，等比数列{an}是递减数列；③当时，它是一个常数列；④当时，它是一个摆动数列．自查自纠1．比常数公比2．等比中项ab±3．(1)a1qn－1amqn－m±(2)y＝qx4．na1乘公比，错位相减6．(2)q1q1q2(3)qm(4)qn(5)①q＞10＜q＜1②0＜q＜1q＞1③q＝1④q＜0()对任意等比数列{an}，下列说法一定正确的是()A．a1，a3，a9成等比数列B．a2，a3，a6成等比数列C．a2，a4，a8成等比数列D．a3，a6，a9成等比数列解：由等比数列的性质，得＝＝q3≠0，因此，a3，a6，a9一定成等比数列．故选D.()已知等比数列{an}满足a1＝3，a1＋a3＋a5＝21，则a3＋a5＋a7＝()A．21B．42C．63D．84解：设等比数列{an}的公比为q，则a1＋a3＋a5＝a1＋a1q2＋a1q4＝3(1＋q2＋q4)＝21，得q4＋q2－6＝0，解得q2＝2，∴a3＋a5＋a7＝(a1＋a3＋a5)q2＝21q2＝42.故选B.()已知数列{an}满足2an＋1＋an＝0，a2＝1，则数列{an}的前10项和S10为()A.(210－1)B.(210＋1)C.(2－10－1)D.(2－10＋1)解： 2an＋1＋an＝0，∴＝－.又a2＝1，∴a1＝－2，∴数列{an}是－2为首项，－为公比的等比数列，∴S10＝＝＝(2－10－1)．故选C.()设Sn为等比数列{an}的前n项和．若a1＝1，且3S1，2S2，S3成等差数列，则an＝________．解：由3S1，2S2，S3成等差数列，得4S2＝3S1＋S3，即3S2－3S1＝S3－S2，也即3a2＝a3，得公比q＝3，∴an＝a1qn－1＝3n－1.故填3n－1.()若等比数列{an}满足a2＋a4＝20，a3＋a5＝40，则公比q＝________；前n项和Sn＝________.解：由题意解得故Sn＝＝2n＋1－2.故填2；2n＋1－2.类型一等比数列的判定与证明设数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＝1，Sn＋1＝4an＋2.(1)设bn＝an＋1－2an，证明：数列{bn}是等比数列；(2)求数列{an}的通项公式．解：(1)证明：由a1＝1及Sn＋1＝4an＋2，有a1＋a2＝S2＝4a1＋2.∴a2＝5，∴b1＝a2－2a1＝3.又①－②，得an＋1＝4an－4an－1，∴an＋1－2an＝2(an－2an－1)． bn＝an＋1－2an，∴bn＝2bn－1(n≥2)，故{bn}是以3为首项，2为公比的等比数列．(2)由(1)知bn＝an＋1－2an＝3·2n－1，∴－＝，故是以为首项，为公差的等差数列．∴＝＋(n－1)·＝，得an＝(3n－1)·2n－2.【点拨】(1)证明数列{bn}是等比数列，常用方法：①定义法；②等比中项法．(2)证明数列不是等比数列，可举一个反例或用反证法．()设是公比...
