课时分层作业(二十一)函数的平均变化率(建议用时：60分钟)[合格基础练]一、选择题1．已知函数f(x)＝x2＋1，当x＝2，Δx＝0.1时，Δy的值为()A．0.40B．0.41C．0.43D．0.44B[∵x＝2，Δx＝0.1，∴Δy＝f(x＋Δx)－f(x)＝f(2.1)－f(2)＝(2.12＋1)－(22＋1)＝0.41，故选B.]2．函数y＝1在[2,2＋Δx]上的平均变化率是()A．0B．1C．3D．ΔxA[＝＝0.]3．质点运动规律为s＝2t2＋5，则在时间(3,3＋Δt)中，相应的平均速度等于()A．6＋ΔtB．12＋Δt＋C．12＋2ΔtD．12C[＝＝12＋2Δt.]4．如果函数y＝ax＋b在区间[1,2]上的平均变化率为3，则a＝()A．－3B．2C．3D．－2C[根据平均变化率的定义，可知＝＝a＝3，故选C.]5．已知函数f(x)的定义域为A，如果对于定义域内某个区间I上的任意两个不同的自变量x1，x2，都有＞0，则()A．f(x)在这个区间上为增函数B．f(x)在这个区间上为减函数C．f(x)在这个区间上的增减性不确定D．f(x)在这个区间上为常数函数A[①当x1＞x2时，x1－x2＞0，则f(x1)－f(x2)＞0，即f(x1)＞f(x2)，所以f(x)在区间I上是增函数．当x1＜x2时，x1－x2＜0，则f(x1)－f(x2)＜0，即f(x1)＜f(x2)，所以f(x)在区间I上是增函数．综上可知f(x)在区间I上是增函数，故选A.]二、填空题6．函数y＝－x2＋x在x＝－1附近的平均变化率为________．3－Δx[＝＝3－Δx.]7．汽车行驶的路程s和时间t之间的函数关系图像如图所示，在时间段[t0，t1]，[t1，t2]，[t2，t3]上的平均速度分别为，，，则三者的大小关系为________．＜＜[＝＝kOA，＝＝kAB，＝＝kBC，而由图像知kOA＜kAB＜kBC，∴＜＜.]8．函数f(x)＝3x2＋2在区间[x0，x0＋Δx]上的平均变化率为________，当x0＝2，Δx＝0.1时平均变化率的值为________．6x0＋3Δx12.3[函数f(x)＝3x2＋2在区间[x0，x0＋Δx]上的平均变化率为＝＝＝6x0＋3Δx.当x0＝2，Δx＝0.1时，函数f(x)＝3x2＋2在区间[2,2.1]上的平均变化率为6×2＋3×0.1＝12.3.]三、解答题9．判断函数g(x)＝(k＜0，k为常数)在(－∞，0)上的单调性．[解]设x1，x2∈(－∞，0)，且x1＜x2，则g(x1)－g(x2)＝－＝，＝＝－.∵x1＜0，x2＜0，k＜0，∴＝－＞0，∴g(x)＝(k＜0)在(－∞，0)上为增函数．10．已知函数f(x)＝，x∈[3,5]．(1)判断函数在区间[3,5]上的单调性，并给出证明；(2)求该函数的最大值和最小值．[解](1)函数f(x)在[3,5]上是增函数．证明：设任意x1，x2满足3≤x1＜x2≤5，则f(x1)－f(x2)＝－＝＝，所以＝＝.因为3≤x1＜x2≤5，所以x1＋1＞0，x2＋1＞0，所以＝＞0，所以f(x)＝在[3,5]上是增函数．(2)f(x)min＝f(3)＝＝，f(x)max＝f(5)＝＝.[等级过关练]1．若函数f(x)＝－x2＋10的图像上一点及邻近一点，则＝()A．3B．－3C．－3－(Δx)2D．－Δx－3D[∵Δy＝f－f＝－3Δx－(Δx)2，∴＝＝－3－Δx，故选D.]2.函数y＝x2在x0到x0＋Δx之间的平均变化率为k1，在x0－Δx到x0之间的平均变化率为k2，则k1与k2的大小关系为()A．k1＞k2B．k1＜k2C．k1＝k2D．不确定D[k1＝＝2x0＋Δx，k2＝＝2x0－Δx.因为Δx可大于零也可小于零，所以k1与k2的大小关系不确定．]3．已知曲线y＝－1上两点A，B2＋Δx，－＋Δy，当Δx＝1时，割线AB的斜率为________．－[∵Δy＝－＝－＝＝，∴＝＝，即k＝＝－.∴当Δx＝1时，k＝－＝－.]4．如图是函数y＝f(x)的图像，则函数f(x)在区间[0,2]上的平均变化率为________．[由函数f(x)的图像知，f(x)＝所以函数f(x)在区间[0,2]上的平均变化率为＝＝.]5．已知函数f(x)＝，x∈[1，＋∞)．(1)当a＝时，求函数f(x)的最小值；(2)若对任意x∈[1，＋∞)，f(x)＞0恒成立，试求实数a的取值范围．[解](1)当a＝时，f(x)＝x＋＋2.设1≤x1＜x2，则f(x2)－f(x1)＝(x2－x1)·，∴＝＝.∵1≤x1＜x2，∴2x1x2＞2，∴＝＞0，∴f(x)在区间[1，＋∞)上为增函数，∴f(x)在区间[1，＋∞)上的最小值为f(1)＝.(2)在区间[1，＋∞)上f(x)＞0恒成立⇔x2＋2x＋a＞0恒成立．设y＝x2＋2x＋a，x∈[1，＋∞)，则函数y＝x2＋2x＋a＝(x＋1)2＋a－1在区间[1，＋∞)上是增函数．所以当x＝1时，y取最小值，即ymin＝3＋a，于是当且仅当ymin＝3＋a＞0时，函数f(x)＞0恒成立，故a＞－3，实数a的取值范围为(－3，＋∞).
