广东省广州市华南师大附中2015届高考数学“临门一脚”试卷（理科）一、选择题（共5小题，每小题3分，满分15分）1．（3分）定义：分子为1且分母为正整数的分数称为单位分数．我们可以把1分拆为若干个不同的单位分数之和．如：1=++，1=+++，1=++++，…依此类推可得：1=++++++++++++，其中m≤n，m，n∈N*．设1≤x≤m，1≤y≤n，则的最小值为（）A．B．C．D．2．（3分）定义区间（a，b），[a，b），（a，b]，[a，b]的长度均为d=b﹣a，多个区间并集的长度为各区间长度之和，例如，（1，2）∪[3，5）的长度d=（2﹣1）+（5﹣3）=3．用[x]表示不超过x的最大整数，记{x}=x﹣[x]，其中x∈R．设f（x）=[x]{x}，g（x）=x﹣1，当0≤x≤k时，不等式f（x）＜g（x）解集区间的长度为5，则k的值为（）A．6B．7C．8D．93．（3分）设A是整数集的一个非空子集，对于k∈A，如果k﹣1∉A且k+1∉A，那么称k是A的一个“孤立元”，给定S={1，2，3，4，5，6，7，8}，则S的3个元素构成的所有集合中，其元素都是“孤立元”的集合个数是（）A．6B．15C．20D．254．（3分）在如图所示的空间直角坐标系O﹣xyz中，一个四面体的顶点坐标分别为（0，0，2），（2，2，0），（1，2，1），（2，2，2），给出的编号为①，②，③，④的四个图，则该四面体的正视图和俯视图分别为（）A．①和②B．③和①C．④和③D．④和②5．（3分）现安排甲、乙、丙、丁、戌5名同学参加上海世博会志愿者服务活动，每人从事翻译、导游、礼仪、司机四项工作之一，每项工作至少有一人参加．甲、乙不会开车但能从事其他三项工作，丙丁戌都能胜任四项工作，则不同安排方案的种数是（）A．152B．126C．90D．541二、填空题（共3小题，每小题3分，满分9分）6．（3分）在平面直角坐标系xOy中，过点P（﹣5，a）作圆x2+y2﹣2ax+2y﹣1=0的两条切线，切点分别为M（x1，y1），N（x2，y2），且+=0，则实数a的值为．7．（3分）设（x﹣1）4（x+2）8=a0x12+a1x11+…+anx+a12，则a2+a4+…+a12=．8．（3分）给n个自上而下相连的正方形着黑色或白色．当n≤4时，在所有不同的着色方案中，黑色正方形互不相连的着色方案如图所示：由此推断，当n=6时，黑色正方形互不相邻的着色方案共有种，至少有两个黑色正方形相邻的着色方案共有种，（结果用数值表示）三、解答题（共15小题，满分122分）9．已知在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，b（b﹣c）=（a﹣c）（a+c），且∠B为钝角．（Ⅰ）求角A的大小，并求出角C的范围；（Ⅱ）若a=，求b﹣c的取值范围．10．（12分）已知函数（x∈R）的图象经过点．（1）求函数f（x）的解析式；（2）设α，，，，求cos（α﹣β）的值．11．（12分）为备战2016年奥运会，甲、乙两位射击选手进行了强化训练，现分别从他们的强化训练期间的若干次平均成绩中随机抽取8次，记录如下：甲：8.3，9.0，7.9，7.8，9.4，8.9，8.4，8.3；乙：9.2，9.5，8.0，7.5，8.2，8.1，9.0，8.5．（1）现要从中选派一人参见奥运会封闭集训，从统计学角度，你认为派哪位选手参加合理？简单说明理由；2（2）若将频率视为概率，对选手乙在今后的三次比赛成绩进行预测，记这三次成绩中不低于8.5分的次数为ξ，求ξ的分布列及均值E（ξ）．12．如图，直二面角D﹣AB﹣E中，四边形ABCD是边长为2的正方形，AE=EB=，F为CE上的点，且BF⊥CE，G为AC中点．（Ⅰ）求证：AC⊥平面BGF；（Ⅱ）求二面角B﹣AC﹣E的平面角正弦的大小；（Ⅲ）求点D到平面ACE的距离．13．已知四棱锥P﹣ABCD的三视图如图所示，其中正（主）视图与侧（左）视为直角三角形，俯视图为正方形．（1）求四棱锥P﹣ABCD的体积；（2）若E是侧棱PA上的动点．问：不论点E在PA的任何位置上，是否都有BD⊥CE？请证明你的结论？（3）求二面角D﹣PA﹣B的余弦值．14．（14分）等边三角形ABC的边长为3，点D、E分别是边AB、AC上的点，且满足（如图1）．将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使二面角A1﹣DE﹣B成直二面角，连结A1B、A1C（如图2）．3（1）求证：A1D丄平面BCED；（2）在线段BC上是否存在点P，使直线PA1与平面A1BD所成的角为60°？若存在，求出PB的长；若不存在，请说明理由．15．（14分）已知数列{an}是...
