专题跟踪训练(十五)一、选择题1．两条异面直线在同一个平面上的正投影不可能是()A．两条相交直线B．两条平行直线C．两个点D．一条直线和直线外一点[解析]如图，在正方体ABCD－EFGH中，M，N分别为BF，DH的中点，连接MN，DE，CF，EG.当异面直线为EG，MN所在直线时，它们在底面ABCD内的射影为两条相交直线；当异面直线为DE，GF所在直线时，它们在底面ABCD内的射影分别为AD，BC，是两条平行直线；当异面直线为DE，BF所在直线时，它们在底面ABCD内的射影分别为AD和点B，是一条直线和一个点，故选C.[答案]C2．已知m，n为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，则下列命题中正确的是()A．若l⊥m，l⊥n，且m，n⊂α，则l⊥αB．若平面α内有不共线的三点到平面β的距离相等，则α∥βC．若m⊥α，m⊥n，则n∥αD．若m∥n，n⊥α，则m⊥α[解析]依次判断各选项，A错误，只有直线m，n相交时命题才成立；B错误，两平面可相交，其中两点在交线一侧，且与平面平行，另一点在异侧，且斜线段相等时，三点到平面距离相等；C错误，直线n可在平面α内；D正确，空间想象即可．[答案]D3．(2014·辽宁卷)已知m，n表示两条不同直线，α表示平面，下列说法正确的是()A．若m∥α，n∥α，则m∥nB．若m⊥α，n⊂α，则m⊥nC．若m⊥α，m⊥n，则n∥αD．若m∥α，m⊥n，则n⊥α[解析]解法一：若m∥α，n∥α，则m，n可能平行、相交或异面，A错；若m⊥α，n⊂α，则m⊥n，因为直线与平面垂直时，它垂直于平面内任一直线，B正确；若m⊥α，m⊥n，则n∥α或n⊂α，C错；若m∥α，m⊥n，则n与α可能相交，可能平行，也可能n⊂α，D错．解法二：如图，在正方体ABCD－A′B′C′D′中，用平面ABCD表示α.A项中，若m为A′B′，n为B′C′，满足m∥α，n∥α，但m与n是相交直线，故A错．B项中，m⊥α，n⊂α，∴m⊥n，这是线面垂直的性质，故B正确．C项中，若m为AA′，n为AB，满足m⊥α，m⊥n，但n⊂α，故C错．D项中，若m为A′B′，n为B′C′，满足m∥α，m⊥n，但n∥α，故D错．[答案]B4．(2014·广东卷)若空间中四条两两不同的直线l1，l2，l3，l4，满足l1⊥l2，l2⊥l3，l3⊥l4，则下列结论一定正确的是()A．l1⊥l4B．l1∥l4C．l1与l4既不垂直也不平行D．l1与l4的位置关系不确定[解析]如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，记l1＝DD1，l2＝DC，l3＝DA，若l4＝AA1，满足l1⊥l2，l2⊥l3，l3⊥l4，此时l1∥l4，可以排除选项A和C.若l4＝DC1，也满足条件，可以排除选项B.故选D.[答案]D5．(2015·福建卷)若l，m是两条不同的直线，m垂直于平面α，则“l⊥m”是“l∥α”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件[解析]由“m⊥α且l⊥m”推出“l⊂α或l∥α”，但由“m⊥α且l∥α”可推出“l⊥m”，所以“l⊥m”是“l∥α”的必要而不充分条件，故选B.[答案]B6．(2015·河南郑州第二次质量预测)如图，矩形ABCD中，AB＝2AD，E为边AB的中点，将△ADE沿直线DE翻折成△A1DE.若M为线段A1C的中点，则在△ADE翻折过程中，下面四个命题中不正确的是()A．BM是定值B．点M在某个球面上运动C．存在某个位置，使DE⊥A1CD．存在某个位置，使MB∥平面A1DE[解析]延长CB至F，使CB＝BF，连接A1F，可知MB为△A1FC的中位线，即MB＝A1F，因为在翻折过程中A1F为定值，所以BM为定值，A正确．点A1绕DE的中点、以定长为半径做圆周运动，点M运动的轨迹与点A1相似，也是圆周运动，所以点M在某个球面上运动，B正确．由题知DE⊥EC，若DE⊥A1C，则直线DE⊥平面ECA1，于是∠DEA1＝90°，又因为∠DAE＝90°，即∠DA1E＝90°，此时在一个三角形中有两个直角，所以DE不可能垂直于A1C，C不正确．因为MB綊A1F，由图可知A1F在平面A1DE内，所以存在某个位置使得MB∥平面A1DE，D正确．[答案]C二、填空题7．(2015·兰州诊断)在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝AC＝BC＝2，AA1＝1，则点A到平面A1BC的距离为________．[解析]解法一：如图，设D为BC的中点，连接AD、A1D、A1C、A1B，过A作A1D的垂线，垂足为E，则BC⊥A1D，BC⊥AD，所以BC⊥平面A1AD，则BC⊥AE.又AE⊥A1D，所以AE⊥平面A1BC，所以AE即为所求距离，由条件可得AD＝AB＝，A...
