第04讲：分离函数法【知识要点】1、在高中数学解题过程中，对于某些形如的分式函数，经常要分离函数，把数学问题转化的简单易解.2、形如的分式函数，如果分子分母最高次数相同，分离出来的常数为最高次数的系数比；如果分母的最高次数比分子的最高次数低，可以直接利用竖式除法分离；如果分母的最高次数比分子的最高次数高，可以直接把分式的分子分母同时除以分子，再分离，再解答.【方法讲评】【例1】已知函数．（1）求函数的定义域；（2）判断函数的奇偶性；（3）当时，函数，求函数的值域．因为是减函数，所以是减函数，则函数在区间上是减函数，故函数在区间上也是减函数．则，因此，函数的值域为．【点评】（1）对于形如的函数，一般利用分离函数方法分离，再解答.如果分子分母最高次数相同，分离出来的常数为最高次数的系数比.的分子分母最高次数都是“”，所以分离出来的常数为它们的系数比“”.（2）把分离成，再利用复合函数的单调性来分析就简洁多了.【反馈检测1】已知数列{an}的奇数项是首项为1的等差数列，偶数项是首项为2的等比数列，且满足，，记（）（1）求数列的通项公式；（2）设数列的前2014项和为，求不超过的最大整数．【例2】已知，求的最小值.【点评】（1）本题也可以利用导数来求函数的最值，但是利用基本不等式效率要稍微高些.（2）要利用基本不等式关键是化简变形，使它满足“一正二定三相等”.怎么化简呢？对于形如的函数，一般先把分子配方配出，好和分母相约，再把分子的后面的一次项配出，好和分母相约.最后结果的形式自然可以利用基本不等式了.（3）由于已知条件里有，所以，所以联想到利用基本不等式求函数的最值.在平时的学习过程中，大家要注意观察想象，提高自己的反应能力.【反馈检测2】已知，求函数的最小值.【反馈检测3】定义在上的函数满足，已知的导函数的图象如图所示，若两个正数满足，则的取值范围是（）高中数学常用解题技巧第04讲：分离函数法参考答案【反馈检测1答案】（1）；（2）2014.【反馈检测1详细解析】（1）设奇数项构成等差数列的公差为，偶数项构成的等比数列的公比为，由，，得，解得，，则，=．（2）当且仅当，即时，上式等号成立.因为在定义域内，所以最小值为1.【反馈检测3答案】【反馈检测3详细解析】由的图象知，在上单调递减，在上单调递增，又∵且所以，∴满足画出可行域为内部，如图所示：
