解答题专题练(五)解析几何(建议用时：60分钟)1.(2015·潍坊第一次模拟)已知圆O：x2＋y2＝4，点A(，0)，以线段AB为直径的圆内切于圆O，记点B的轨迹为Γ.(1)求曲线Γ的方程；(2)直线AB交圆O于C，D两点，当B为CD的中点时，求直线AB的方程．2.已知椭圆＋y2＝1上两个不同的点A，B关于直线y＝mx＋对称．(1)求实数m的取值范围；(2)求△AOB面积的最大值(O为坐标原点)．3.已知椭圆E：＋＝1(a＞b＞0)的半焦距为c，原点O到经过两点(c，0)，(0，b)的直线的距离为c.(1)求椭圆E的离心率；(2)如图，AB是圆M：(x＋2)2＋(y－1)2＝的一条直径，若椭圆E经过A，B两点，求椭圆E的方程．4．已知椭圆＋＝1(a>b>0)的右焦点为F2(1，0)，点H在椭圆上．(1)求椭圆的方程；(2)点M在圆x2＋y2＝b2上，且M在第一象限，过M作圆x2＋y2＝b2的切线交椭圆于P，Q两点，问：△PF2Q的周长是否为定值？如果是，求出定值；如果不是，说明理由．5．(2015·东营第一次统考)已知椭圆C的中心在坐标原点，右焦点为F(，0)，A、B分别是椭圆C的左、右顶点，D是椭圆C上异于A、B的动点，且△ADB面积的最大值为12.(1)求椭圆C的方程；(2)求证：当点P(x0，y0)在椭圆C上运动时，直线l：x0x＋y0y＝2与圆O：x2＋y2＝1恒有两个交点，并求直线l被圆O所截得的弦长L的取值范围．6.设抛物线C1：y2＝4x的准线与x轴交于点F1，焦点为F2.以F1，F2为焦点，离心率为的椭圆记作C2.(1)求椭圆的标准方程；(2)直线L经过椭圆C2的右焦点F2，与抛物线C1交于A1，A2两点，与椭圆C2交于B1，B2两点，当以B1B2为直径的圆经过F1时，求|A1A2|的长；(3)若M是椭圆上的动点，以M为圆心，MF2为半径作⊙M，是否存在定⊙N，使得⊙M与⊙N恒相切？若存在，求出⊙N的方程，若不存在，请说明理由．解答题专题练(五)解析几何1．解：(1)设AB的中点为M，切点为N，连接OM，MN，则|OM|＋|MN|＝|ON|＝2，取A关于y轴的对称点A′，连接A′B，故|A′B|＋|AB|＝2(|OM|＋|MN|)＝4.所以点B的轨迹是以A′，A为焦点，长轴长为4的椭圆．其中，a＝2，c＝，b＝1，则曲线Γ的方程为＋y2＝1.(2)因为B为CD的中点，所以OB⊥CD，则OB⊥AB.设B(x0，y0)，则x0(x0－)＋y＝0.又＋y＝1，解得x0＝，y0＝±.则kOB＝±，kAB＝∓，则直线AB的方程为y＝±(x－)，即x－y－＝0或x＋y－＝0.2．解：(1)由题意知m≠0，可设直线AB的方程为y＝－x＋b.由消去y，得x2－x＋b2－1＝0.因为直线y＝－x＋b与椭圆＋y2＝1有两个不同的交点，所以Δ＝－2b2＋2＋>0.①将线段AB的中点M代入直线方程y＝mx＋解得b＝－.②由①②得m<－或m>.(2)令t＝∈∪，则|AB|＝·，且O到直线AB的距离为d＝.设△AOB的面积为S(t)，所以S(t)＝|AB|·d＝≤，当且仅当t2＝时，等号成立．故△AOB面积的最大值为.3．解：(1)过点(c，0)，(0，b)的直线方程为bx＋cy－bc＝0，则原点O到该直线的距离d＝＝，由d＝c，得a＝2b＝2，解得离心率＝.(2)法一：由(1)知，椭圆E的方程为x2＋4y2＝4b2.①依题意，圆心M(－2，1)是线段AB的中点，且|AB|＝.易知，AB与x轴不垂直，设其方程为y＝k(x＋2)＋1，代入①得(1＋4k2)x2＋8k(2k＋1)x＋4(2k＋1)2－4b2＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝－，x1x2＝.由x1＋x2＝－4，得－＝－4，解得k＝.从而x1x2＝8－2b2.于是|AB|＝|x1－x2|＝＝.由|AB|＝，得＝，解得b2＝3.故椭圆E的方程为＋＝1.法二：由(1)知，椭圆E的方程为x2＋4y2＝4b2.①依题意，点A，B关于圆心M(－2，1)对称，且|AB|＝.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x＋4y＝4b2，x＋4y＝4b2，两式相减并结合x1＋x2＝－4，y1＋y2＝2，得－4(x1－x2)＋8(y1－y2)＝0.易知AB与x轴不垂直，则x1≠x2，所以AB的斜率kAB＝＝.因此直线AB的方程为y＝(x＋2)＋1，代入①得x2＋4x＋8－2b2＝0.所以x1＋x2＝－4，x1x2＝8－2b2.于是|AB|＝|x1－x2|＝＝.由|AB|＝，得＝，解得b2＝3.故椭圆E的方程为＋＝1.4．解：(1)由题意，得解得所以椭圆方程为＋＝1.(2)是定值．设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则＋＝1(0≤x1≤3)，|PF2|2＝(x1－1)2＋y＝(x1－1)2＋8＝(x1－9)2，所以|PF2|＝(9－x1)＝3－x1.连接OM，OP，由相切条件知|PM|2＝|OP|2－|OM|2＝x＋y－8＝x＋8－8＝x，所以|PM|＝x1，所以|PF2|＋|PM|＝3－x1＋x1＝3，...
