3.数列1．在等差数列{an}中，a1＝－2，a12＝20.(1)求数列{an}的通项an；(2)若bn＝，求数列{3bn}的前n项和Sn.解(1)因为an＝－2＋(n－1)d，所以a12＝－2＋11d＝20，于是d＝2，所以an＝2n－4(n∈N*)．(2)因为an＝2n－4，所以a1＋a2＋…＋an＝＝n(n－3)，于是bn＝＝n－3，令cn＝，则cn＝3n－3，显然数列{cn}是等比数列，且c1＝3－2，公比q＝3，所以数列{3bn}的前n项和Sn＝＝(n∈N*)．2．已知数列{an}满足a1＝，＝＋2(n∈N*)．(1)求数列{an}的通项公式；(2)证明：a＋a＋a＋…＋a<.(1)解由条件可知数列为等差数列，且首项为2，公差为2，所以＝2＋(n－1)×2＝2n，故an＝(n∈N*)．(2)证明依题意可知a＝2＝·<··＝，n≥2，n∈N*.又因为a＝，所以a＋a＋a＋…＋a<＝<×2＝.故a＋a＋a＋…＋a<.3．已知Sn为等差数列{an}的前n项和，且a1＝1，S9＝81.记bn＝[log5an]，其中[x]表示不超过x的最大整数，如[0.9]＝0，[log516]＝1.(1)求b1，b14，b61；(2)求数列{bn}的前200项和．解(1)设等差数列{an}的公差为d，由已知S9＝81，根据等差数列的性质可知，S9＝9a5＝9(a1＋4d)＝81，∴a1＋4d＝9.∵a1＝1，∴d＝2，∴an＝2n－1，∴b1＝[log51]＝0，b14＝[log527]＝2，b61＝[log5121]＝2.(2)当1≤n≤2时，1≤an≤3(an∈N*)，bn＝[log5an]＝0，共2项；当3≤n≤12时，5≤an≤23，bn＝[log5an]＝1，共10项；当13≤n≤62时，25≤an≤123，bn＝[log5an]＝2，共50项；3nb当63≤n≤200时，125≤an≤399，bn＝[log5an]＝3，共138项．∴数列{bn}的前200项和为2×0＋10×1＋50×2＋138×3＝524.4．已知数列{an}满足a1＝1，Sn＝2an＋1，其中Sn为{an}的前n项和(n∈N*)．(1)求S1，S2及数列{Sn}的通项公式；(2)若数列{bn}满足bn＝，且{bn}的前n项和为Tn，求证：当n≥2时，≤|Tn|≤.(1)解数列{an}满足Sn＝2an＋1，则Sn＝2an＋1＝2(Sn＋1－Sn)，即3Sn＝2Sn＋1，所以＝，所以S2＝，S1＝a1＝1，即数列{Sn}是以1为首项，以为公比的等比数列．所以Sn＝n－1(n∈N*)．(2)证明在数列{bn}中，bn＝＝－1×，{bn}的前n项和的绝对值|Tn|＝＝，而当n≥2时，1－≤≤＝，即≤|Tn|≤.5．设数列{an}满足a1＝a，an＋1＝(a>0且a≠1，n∈N*)．(1)证明：当n≥2时，an
b.证明(1)由an＋1＝知，an与a1的符号相同，而a1＝a>0，所以an>0，所以an＋1＝≤1，当且仅当an＝1时，an＋1＝1，下面用数学归纳法证明：①因为a>0且a≠1，所以a2<1，＝>1，即有a21，即ak＋1ak＋1>ak≥b；若aka2k－1>a2k－1＝a2k－1≥a2.因为k≥＋1，所以(k－1)＋1≥＋1＝，所以ak＋1>b.6．已知数列{an}满足a1＝2，点(an，an＋1)在直线y＝3x＋2上．数列{bn}满足b1＝2，＝＋＋…＋.(1)求b2的值；(2)求证数列{an＋1}为等比数列，并求出数列{an}的通项公式；(3)求证：2－≤…<.(1)解由已知得a2＝3a1＋2＝8，所以＝，＝，解得b2＝4.(2)解由条件得an＋1＝3an＋2，则＝＝3，所以数列{an＋1}是以3为公比的等比数列．an＋1＝(a1＋1)·3n－1＝3n，所以数列{an}的通项公式为an＝3n－1.(3)证明由题设＝＋＋…＋，①知＝＋＋…＋(n≥2)，②①－②得－＝，则＝，即＝(n≥2)．当n＝1时，2－＝，1＋＝<，所以原不等式成立；当n≥2时，…＝··…·＝···…··(1＋bn)＝××·…··(1＋bn)＝×·(1＋bn)＝3＝3＝3，先证明不等式左边，因为＝>，所以3≥3＝3＝2－.再证明不等式右边，当n≥2时，＝＝≤，3≤3＝3＝3<.所以2－≤…<成立．综上所述，不等式成立．
