2.11导数在研究函数中的应用(二)[重点保分两级优选练]A级一、选择题1．(2017·安庆二模)若函数y＝aex＋3x在R上有小于零的极值点，则实数a的取值范围是()A．(－3，＋∞)B．(－∞，－3)C.D.答案B解析y＝aex＋3x，求导，y′＝aex＋3，由若函数y＝aex＋3x在R上有小于零的极值点，则y′＝aex＋3＝0有负根，则a≠0，则ex＝－在y轴的左侧有交点，∴0<－<1，解得：a<－3，实数a的取值范围为(－∞，－3)．故选B.2．(2018·太原模拟)设f(x)，g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，g(x)≠0，当x<0时，f′(x)g(x)－f(x)g′(x)>0，且f(－3)＝0，则不等式<0的解集是()A．(－3,0)∪(3，＋∞)B．(－3,0)∪(0,3)C．(－∞，－3)∪(3，＋∞)D．(－∞，－3)∪(0,3)答案D解析 f(x)，g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，∴为奇函数，的图象关于原点对称．当x<0时，f′(x)g(x)－f(x)g′(x)>0，∴′＝>0，∴当x<0时，是增函数，故当x>0时，也是增函数.函数的单调性的示意图，如图所示： f(－3)＝0，∴f(3)＝0，∴由不等式<0，可得x<－3或0
1，f(0)＝2018，则不等式exf(x)>ex＋2017(其中e为自然对数的底数)的解集为()A．(－∞，0)∪(0，＋∞)B．(0，＋∞)C．(2017，＋∞)D．(－∞，0)∪(2017，＋∞)答案B解析设g(x)＝exf(x)－ex，则g′(x)＝exf(x)＋exf′(x)－ex＝ex[f(x)＋f′(x)－1]， f(x)＋f′(x)>1，ex>0，∴g′(x)＝ex[f(x)＋f′(x)－1]>0，∴g(x)是R上的增函数．又g(0)＝f(0)－1＝2017，∴g(x)>2017的解集为(0，＋∞)，即不等式exf(x)>ex＋2017的解集为(0，＋∞)．故选B.6．(2017·金华模拟)设函数f(x)＝x(lnx－ax)(a∈R)在区间(0,2)上有两个极值点，则a的取值范围是()A.B.C.D.答案D解析f(x)＝x(lnx－ax)，求导f′(x)＝lnx－2ax＋1，2由题意，关于x的方程2ax＝lnx＋1在区间(0,2)有两个不相等的实根，则y＝2ax与y＝lnx＋1有两个交点，由y＝lnx＋1，求导y′＝，设切点(x0，y0)，＝，解得x0＝1，∴切线的斜率k＝1，则2a＝1，a＝，则当x＝2，则直线斜率k＝，则a＝，∴a的取值范围为，故选D.7．(2017·江西模拟)若函数f(x)＝a(x－2)ex＋lnx＋存在唯一的极值点，且此极值大于0，则()A．0≤a0，∴f′(x)＝a(x－1)ex＋－＝(x－1)，由f′(x)＝0得到x＝1或aex＋＝0(*)．由于f(x)仅有一个极值点，关于x的方程(*)必无解，①当a＝0时，(*)无解，符合题意，②当a≠0时，由(*)得，a＝－，∴a>0，由于这两种情况都有，当01时，f′(x)>0，于是f(x)为增函数，∴x＝1为f(x)的极值点， f(1)＝－ae＋1>0，∴a<.综上可得a的取值范围是.故选A.8．(2017·濮阳期末)函数f(x)＝x3－3x－1，若对于区间[－3,2]上的任意x1，x2都有|f(x1)－f(x2)|≤t，则实数t的最小值是()A．20B．18C．3D．0答案A解析对于区间[－3,2]上的任意x1，x2都有|f(x1)－f(x2)|≤t，等价于对于区间[－3,2]上的任意x，都有f(x)max－f(x)min≤t. f(x)＝x3－3x－1，∴f′(x)＝3x2－3＝3(x－1)(x＋1)， x∈[－3,2]，∴函数在[－3，－1]，[1,2]上单调递增，在[－...
