专题5.3等比数列及其前n项和【考试要求】1.理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式与前n项和公式；2.能在具体的问题情境中识别数列的等比关系，并能用有关知识解决相应的问题；3.体会等比数列与指数函数的关系.【知识梳理】1.等比数列的概念(1)如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个非零常数，那么这个数列叫做等比数列.数学语言表达式：＝q(n≥2，q为非零常数).(2)如果三个数a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项，其中G＝±.2.等比数列的通项公式及前n项和公式(1)若等比数列{an}的首项为a1，公比是q，则其通项公式为an＝a1qn－1；通项公式的推广：an＝amqn－m.(2)等比数列的前n项和公式：当q＝1时，Sn＝na1；当q≠1时，Sn＝＝.3.等比数列的性质已知{an}是等比数列，Sn是数列{an}的前n项和.(1)若k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则有ak·al＝am·an.(2)相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列，即ak，ak＋m，ak＋2m，…仍是等比数列，公比为qm.(3)当q≠－1，或q＝－1且n为奇数时，Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…仍成等比数列，其公比为qn.【微点提醒】1.若数列{an}为等比数列，则数列{c·an}(c≠0)，{|an|}，{a}，也是等比数列.2.由an＋1＝qan，q≠0，并不能立即断言{an}为等比数列，还要验证a1≠0.3.在运用等比数列的前n项和公式时，必须注意对q＝1与q≠1分类讨论，防止因忽略q＝1这一特殊情形而导致解题失误.【疑误辨析】1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)(1)等比数列公比q是一个常数，它可以是任意实数.()(2)三个数a，b，c成等比数列的充要条件是b2＝ac.()(3)数列{an}的通项公式是an＝an，则其前n项和为Sn＝.()(4)数列{an}为等比数列，则S4，S8－S4，S12－S8成等比数列.()【答案】(1)×(2)×(3)×(4)×【解析】(1)在等比数列中，q≠0.1(2)若a＝0，b＝0，c＝0满足b2＝ac，但a，b，c不成等比数列.(3)当a＝1时，Sn＝na.(4)若a1＝1，q＝－1，则S4＝0，S8－S4＝0，S12－S8＝0，不成等比数列.【教材衍化】2.(必修5P53A1(2)改编)已知{an}是等比数列，a2＝2，a5＝，则公比q等于()A.－B.－2C.2D.【答案】D【解析】由题意知q3＝＝，即q＝.3.(必修5P54A8改编)在9与243中间插入两个数，使它们同这两个数成等比数列，则这两个数为________.【答案】27，81【解析】设该数列的公比为q，由题意知，243＝9×q3，q3＝27，∴q＝3.∴插入的两个数分别为9×3＝27，27×3＝81.【真题体验】4.(2019·天津和平区质检)已知等比数列{an}满足a1＝1，a3·a5＝4(a4－1)，则a7的值为()A.2B.4C.D.6【答案】B【解析】根据等比数列的性质得a3a5＝a，∴a＝4(a4－1)，即(a4－2)2＝0，解得a4＝2.又 a1＝1，a1a7＝a＝4，∴a7＝4.5.(2018·北京卷)“十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献.十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于.若第一个单音的频率为f，则第八个单音的频率为()A.fB.fC.fD.f【答案】D【解析】由题意知十三个单音的频率依次构成首项为f，公比为的等比数列，设此数列为{an}，则a8＝f，即第八个单音的频率为f.6.(2015·全国Ⅰ卷)在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝2an，Sn为{an}的前n项和.若Sn＝126，则n＝________.【答案】6【解析】由an＋1＝2an，知数列{an}是以a1＝2为首项，公比q＝2的等比数列，由Sn＝＝126，解得n＝6.【考点聚焦】考点一等比数列基本量的运算2【例1】(1)(2017·全国Ⅲ卷)设等比数列{an}满足a1＋a2＝－1，a1－a3＝－3，则a4＝________.(2)等比数列{an}的各项均为实数，其前n项和为Sn，已知S3＝，S6＝，则a8＝________.【答案】(1)－8(2)32【解析】(1)由{an}为等比数列，设公比为q.由得显然q≠1，a1≠0，得1－q＝3，即q＝－2，代入①式可得a1＝1，所以a4＝a1q3＝1×(－2)3＝－8.(2)设数列{an}首项为a1，公比为q(q≠1)，则解得所以a8＝a1q7＝×27＝32.【规律方法】1.等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题，等比数列中有五个量a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二”，通过列方程...
