第6讲数系的扩充与复数的引入一、填空题1．复数(2＋i)2等于________．解析(2＋i)2＝4＋4i＋i2＝3＋4i.答案3＋4i2．复数z＝＋，则＝________.解析∵z＝＋＝＝＝1＋i，∴＝1－i.答案1－i3．若复数z＝(a2＋2a－3)＋(a－3)i为纯虚数(i为虚数单位)，则实数a的值是________．解析z为纯虚数，需满足解得a＝1.答案14．复数z＝(m∈R)是纯虚数，则m＝________.解析由于z＝＝＝是纯虚数，因此2＋m＝0，m＝－2.答案－25．若(i是虚数单位)是实数，则实数a的值是________．解析由＝＝是实数，得a＋1＝0，所以a＝－1.答案－16．若复数(a∈R，i为虚数单位)是纯虚数，则实数a的值为________．解析由＝＝＋i为纯虚数，得a＋6＝0且3－2a≠0，所以a＝－6.答案－67．若复数z满足|z－i|＝1(其中i为虚数单位)，则|z|的最大值为________．解析设z＝x＋yi(x，y∈R)，则由|z－i|＝1，得x2＋(y－1)2＝1，由画图可知|z|的最大值为2.答案28．在复平面内，复数－3＋i和1－i对应的点间的距离为________．解析|－3＋i－1＋i|＝|－4＋2i|＝＝＝2.答案29．已知复数z＝x＋yi，且|z－2|＝，则的最大值________．解析由|z－2|＝可得，|z－2|2＝(x－2)2＋y2＝3.设＝k，即得直线方程为kx－y＝0，∴圆(x－2)2＋y2＝3的圆心(2,0)到直线kx－y＝0的距离d＝≤，解得k∈[－，]，即得的最大值为.答案10．给出下列四个命题：①若z∈C，|z|2＝z2，则z∈R；②若z∈C，＝－z，则z是纯虚数；③若z∈C，|z|2＝zi，则z＝0或z＝i；④若z1，z2∈C，|z1＋z2|＝|z1－z2|，则z1z2＝0.其中真命题的个数为________个．解析设z＝a＋bi(a，b∈R)，若|z|2＝a2＋b2＝z2＝a2－b2＋2abi，则所以b＝0，所以z∈R，①正确；若z＝0，则z不是纯虚数，②错；若a2＋b2＝－b＋ai，则a＝0，b＝0或b＝－1，所以z＝0或z＝－i，③错；若|z1＋z2|＝|z1－z2|，设z1＝a＋bi(a，b∈R)，z2＝c＋di(c，d∈R)．则(a＋c)2＋(b＋d)2＝(a－c)2＋(b－d)2，整理得：ac＋bd＝0，所以z1z2＝(a＋bi)(c＋di)＝ac－bd＋(ad＋bc)i，不一定为零，④错．答案1二、解答题11．已知复数z＝lg(m2－2m－2)＋(m2＋3m＋2)i，根据以下要求求实数m的值或范围：(1)z是纯虚数；(2)z是实数；(3)z对应的点在复平面的第二象限．解(1)由得∴m＝3.(2)由得m＝－1或－2.(3)由得∴－1
