专题22圆锥曲线的统一定义一、基础过关题1．椭圆＋＝1的左、右焦点分别是F1、F2，P是椭圆上一点，若PF1＝3PF2，则P点到左准线的距离是________．【答案】：6【解析】a2＝4，b2＝3，c2＝1，∴准线x＝＝＝4，两准线间距离为8，设P到左准线的距离为d1，P到右准线的距离为d2.∵PF1∶PF2＝3∶1.又∵＝e，＝e，∴d1∶d2＝3∶1.又d1＋d2＝8，∴d1＝8×＝6.2．椭圆＋＝1上点P到右焦点的距离的最大值、最小值分别为________．【答案】：．9,13．到点F(2,0)与直线x＝的距离的比等于2的曲线方程为________.【答案】：x2－＝1【解析】由圆锥曲线的统一定义可知，曲线为焦点在x轴上的双曲线，且c＝2，＝，即a2＝1，故b2＝3，则双曲线的方程为x2－＝1.4．椭圆＋＝1上一点P到左焦点F1的距离为3，则点P到左准线的距离为________．【答案】5【解析】由＋＝1，得a＝5，b＝4，c＝3，∴e＝.根据椭圆的第二定义得＝e.又∵PF1＝3，∴d＝＝3×＝5，∴点P到左准线的距离为5.5．已知椭圆＋＝1上有一点P，它到左、右焦点距离之比为1∶3，则点P到两准线的距离分别为________．【答案】，6.已知A(4,0)，B(2,2)是椭圆＋＝1内的两个点，M是椭圆上的动点．(1)求MA＋MB的最大值和最小值；(2)求MB＋MA的最小值及此时点M的坐标．【答案】(1)MA＋MB的最大值为10＋2，最小值为10－2.(2)MB＋MA的最小值为，此时点M的坐标为.解(1)如图所示，由＋＝1，得a＝5，b＝3，c＝4.所以A(4,0)为椭圆的右焦点，F(－4，0)为椭圆的左焦点．因为MA＋MF＝2a＝10，所以MA＋MB＝10－MF＋MB.因为|MB－MF|≤BF＝＝2，所以－2≤MB－MF≤2.故10－2≤MA＋MB≤10＋2，即MA＋MB的最大值为10＋2，最小值为10－2.7．已知双曲线－＝1和点A(4,1)，F是双曲线的右焦点，P是双曲线上任意一点，求PA＋PF的最小值．【答案】：3【解析】由双曲线的方程，知a＝2，b＝2，∴c＝4，离心率e＝＝2，右准线的方程为x＝1，设点P到右准线的距离为d，由圆锥曲线的定义，有＝2，即PF＝d，如图所示，过P作右准线的垂线，垂足为D，则PA＋PF＝PA＋d＝PA＋PD，所以当P，A，D三点共线时，PA＋PD的值最小，为4－1＝3.8．已知椭圆的一个焦点是F(3,1)，相应于F的准线为y轴，l是过F且倾斜角为60°的直线，l被椭圆截得的弦AB的长是，求椭圆的方程．【答案】：椭圆的方程为＋＝1.【解析】设椭圆离心率为e，M(x，y)为椭圆上任一点，由统一定义＝e，得＝e，整理得(x－3)2＋(y－1)2＝e2x2.①∵直线l的倾斜角为60°，∴直线l的方程为y－1＝(x－3)，②①②联立得(4－e2)x2－24x＋36＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由韦达定理得x1＋x2＝，∴AB＝e(x1＋x2)＝e·＝，∴e＝，∴椭圆的方程为(x－3)2＋(y－1)2＝x2，即＋＝1.二、能力提高题1．过圆锥曲线C的一个焦点F的直线l交曲线C于A，B两点，且以AB为直径的圆与F相应的准线相交，则曲线C为________．【答案】：双曲线【解析】设圆锥曲线的离心率为e，M为AB的中点，A，B和M到准线的距离分别为d1，d2和d，圆的半径为R，d＝，R＝＝＝.由题意知R>d，则e>1，圆锥曲线为双曲线．2．已知点P在双曲线－＝1上，并且P到双曲线的右准线的距离恰是P到双曲线的两个焦点的距离的等差中项，那么P的横坐标是________．【答案】－3．双曲线－＝1(a>0，b>0)的右支上存在与右焦点和左准线等距离的点，求离心率e的取值范围．【答案】：e的取值范围为(1，＋1]．故e的取值范围为(1，＋1]．
