34双曲线的渐近线和离心率1．已知双曲线－＝1(a>0，b>0)以及双曲线－＝1的渐近线将第一象限三等分，则双曲线－＝1的离心率为________．答案2或解析由题意，可知双曲线－＝1的渐近线的倾斜角为30°或60°，则＝或.则e＝＝＝＝＝或2.2．已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左，右焦点分别为F1，F2，过F2作双曲线C的一条渐近线的垂线，垂足为H，若F2H的中点M在双曲线C上，则双曲线C的离心率为________．答案解析取双曲线的渐近线y＝x，则过F2与渐近线垂直的直线方程为y＝－(x－c)，可解得点H的坐标为，则F2H的中点M的坐标为，代入双曲线方程－＝1可得－＝1，整理得c2＝2a2，即可得e＝＝.3．已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的两条渐近线均和圆C：x2＋y2－6x＋5＝0相切，且双曲线的右焦点为圆C的圆心，则该双曲线的方程为________．答案－＝1解析 双曲线－＝1的渐近线方程为y＝±x，圆C的标准方程为(x－3)2＋y2＝4，∴圆心为C(3,0)．又渐近线方程与圆C相切，即直线bx－ay＝0与圆C相切，∴＝2，∴5b2＝4a2.①又 －＝1的右焦点F2(，0)为圆心C(3,0)，∴a2＋b2＝9.②由①②得a2＝5，b2＝4.∴双曲线的标准方程为－＝1.4．已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的左，右焦点分别为F1(－c,0)，F2(c,0)，若双曲线上存在点P使＝，则该双曲线的离心率的取值范围是________．答案(1，＋1)1解析根据正弦定理得＝，由＝，可得＝，即＝＝e，所以PF1＝ePF2.因为e>1，所以PF1>PF2，点P在双曲线的右支上．又PF1－PF2＝ePF2－PF2＝PF2(e－1)＝2a，解得PF2＝.因为PF2>c－a(不等式两边不能取等号，否则题中的分式中的分母为0，无意义)，所以>c－a，即>e－1，即(e－1)2<2，解得e<＋1.又e>1，所以e∈(1，＋1)．5．(2014·湖北)已知F1，F2是椭圆和双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点，且∠F1PF2＝，则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为________．答案解析设PF1＝r1，PF2＝r2(r1>r2)，F1F2＝2c，椭圆长半轴长为a1，双曲线实半轴长为a2，椭圆、双曲线的离心率分别为e1，e2，由(2c)2＝r＋r－2r1r2cos，得4c2＝r＋r－r1r2.由得所以＋＝＝.令m＝＝＝＝，当＝时，mmax＝，所以()max＝，即＋的最大值为.6．(2014·山东改编)已知a>b>0，椭圆C1的方程为＋＝1，双曲线C2的方程为－＝1，C1与C2的离心率之积为，则C2的渐近线方程为________．答案x±y＝02解析由题意知e1＝，e2＝，∴e1·e2＝·＝＝.又 a2＝b2＋c，c＝a2＋b2，∴c＝a2－b2，∴＝＝1－()4，即1－()4＝，解得＝±，∴＝.令－＝0，解得bx±ay＝0，∴x±y＝0.7．若椭圆＋＝1(a>b>0)与双曲线－＝1的离心率分别为e1，e2，则e1e2的取值范围为________．答案(0,1)解析可知e＝＝1－，e＝＝1＋，所以e＋e＝2>2e1e1⇒00，b>0)的左焦点F作圆x2＋y2＝的切线，切点为E，延长FE交双曲线的右支于点P，若E为PF的中点，则双曲线的离心率为________．答案解析设双曲线的右焦点为F′，由于E为PF的中点，坐标原点O为FF′的中点，所以EO∥PF′，又EO⊥PF，所以PF′⊥PF，且PF′＝2×＝a，故PF＝3a，根据勾股定理得FF′＝a.所以双曲线的离心率为＝.9．(2014·浙江)设直线x－3y＋m＝0(m≠0)与双曲线－＝1(a>0，b>0)的两条渐近线分别交于点A，B.若点P(m,0)满足PA＝PB，则该双曲线的离心率是________．答案解析双曲线－＝1的渐近线方程为y＝±x.由得A(，)，由得B(，)，所以AB的中点C坐标为(，)．设直线l：x－3y＋m＝0(m≠0)，3因为PA＝PB，所以PC⊥l，所以kPC＝－3，化简得a2＝4b2.在双曲线中，c2＝a2＋b2＝5b2，所以e＝＝.10．(2013·湖南)设F1，F2是双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的两个焦点，P是C上一点，若PF1＋PF2＝6a，且△PF1F2的最小内角为30°，则双曲线C的离心率为________．答案解析不妨设PF1>PF2，则PF1－PF2＝2a，又 PF1＋PF2＝6a，∴PF1＝4a，PF2＝2a.又在△PF1F2中，∠PF1F2＝30°，由正弦定理得，∠PF2F1＝90°，∴F1F2＝2a，∴双曲线C的离心率e＝＝.11．P(x0，y0)(x0≠±a)是双曲线E：－＝1(a>0，b>0)上一点，M，N分别是双曲线E的左，右顶点，直线PM，PN的斜率之积为.(1)求双曲线的离心率；(2)过双曲线E的右焦点且斜率为1的直线交双曲线于A，B两点，...
