课时作业5函数的奇偶性与周期性一、选择题1．(2014·广东卷)下列函数为奇函数的是()A．2x－B．x3sinxC．2cosx＋1D．x2＋2x解析：选项B中的函数是偶函数；选项C中的函数也是偶函数；选项D中的函数是非奇非偶函数，根据奇函数的定义可知选项A中的函数是奇函数．答案：A2．(2014·新课标全国卷Ⅰ)设函数f(x)，g(x)的定义域都为R，且f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，则下列结论中正确的是()A．f(x)g(x)是偶函数B．|f(x)|g(x)是奇函数C．f(x)|g(x)|是奇函数D．|f(x)g(x)|是奇函数解析：f(x)为奇函数，g(x)为偶函数，故f(x)g(x)为奇函数，|f(x)|g(x)为偶函数，f(x)|g(x)|为奇函数，|f(x)g(x)|为偶函数，故选C.答案：C3．若定义在R上的偶函数f(x)和奇函数g(x)满足f(x)＋g(x)＝ex，则g(x)＝()A．ex－e－xB.(ex＋e－x)C.(e－x－ex)D.(ex－e－x)解析：由f(x)＋g(x)＝ex可得f(－x)＋g(－x)＝e－x，又f(x)为偶函数，g(x)为奇函数，可得f(x)－g(x)＝e－x，则两式相减可得g(x)＝，选D.答案：D4．已知函数f(x)是定义在(－2,2)上的奇函数，当x∈(0,2)时，f(x)＝2x－1，则f的值为()A．－2B．－C．2D.－1解析：当x∈(－2,0)时，－x∈(0,2)，又 当x∈(0,2)时，f(x)＝2x－1，∴f(－x)＝2－x－1，又因为函数f(x)是定义在(－2,2)上的奇函数，∴f(－x)＝－f(x)＝2－x－1，∴x∈(－2,0)时，f(x)＝1－. －2＜log2＜0，∴f(log2)＝1－＝－2.故选A.答案：A5．已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝x2＋2x，若f(2－a2)＞f(a)，则实数a的取值范围是()A．(－∞，－1)∪(2，＋∞)B．(－1,2)C．(－2,1)D．(－∞，－2)∪(1，＋∞)1解析： f(x)是奇函数，∴当x＜0时，f(x)＝－x2＋2x，作出f(x)的大致图象如图所示．结合图象，可知f(x)是R上的增函数，由f(2－a2)＞f(a)，得2－a2＞a，即－2＜a＜1.答案：C6．(2014·大纲全国卷)奇函数f(x)的定义域为R.若f(x＋2)为偶函数，且f(1)＝1，则f(8)＋f(9)＝()A．－2B．－1C．0D．1解析： 奇函数f(x)的定义域为R，∴f(－x)＝－f(x)，且f(0)＝0. f(x＋2)为偶函数，∴f(－x＋2)＝f(x＋2)．∴f[(x＋2)＋2]＝f(－x－2＋2)＝f(－x)＝－f(x)，即f(x＋4)＝－f(x)．∴f(x＋8)＝f[(x＋4)＋4]＝－f(x＋4)＝－f(－f(x))＝f(x)．∴f(x)是以8为周期的周期函数，∴f(8)＝f(0)＝0，f(9)＝f(8＋1)＝f(1)＝1.∴f(8)＋f(9)＝0＋1＝1.故选D.答案：D二、填空题7．(2014·湖南卷)若f(x)＝ln(e3x＋1)＋ax是偶函数，则a＝__________.解析：函数f(x)＝ln(e3x＋1)＋ax为偶函数，故f(－x)＝f(x)，即ln(e－3x＋1)－ax＝ln(e3x＋1)＋ax，化简得ln＝2ax＝lne2ax，即＝e2ax，整理得e3x＋1＝e2ax＋3x(e3x＋1)，所以2ax＋3x＝0，解得a＝－.答案：－8．(2014·新课标全国卷Ⅱ)偶函数y＝f(x)的图象关于直线x＝2对称，f(3)＝3，则f(－1)＝__________.解析：因为f(x)的图象关于直线x＝2对称，所以f(x)＝f(4－x)，f(－x)＝f(4＋x)，又f(－x)＝f(x)，所以f(x)＝f(4＋x)，则f(－1)＝f(4－1)＝f(3)＝3.答案：39．(2014·安徽卷)若函数f(x)(x∈R)是周期为4的奇函数，且在[0,2]上的解析式为f(x)＝则f＋f＝______.解析：由于函数f(x)是周期为4的奇函数，所以f＋f＝f＋f＝f＋f＝－f－f＝－＋sin＝.2答案：三、解答题10．已知函数f(x)＝()|x＋m|＋a，且f(x)为偶函数．(1)求m的值；(2)若方程f(x)＝0有两个实数解，求a的取值范围．解析：(1) f(x)为偶函数，∴f(－x)＝f(x)恒成立，即()|x＋m|＋a＝()|－x＋m|＋a，∴|x＋m|＝|x－m|恒成立，故必有m＝0；(2)f(x)＝()|x|＋a，方程f(x)＝0即为()|x|＋a＝0，()|x|＝－a，方程f(x)＝0有两个实数解，即函数g(x)＝|x|的图象与y＝－a的图象有两个交点，画出y＝g(x)的图象(如图)，可知当0＜－a＜1，即－1＜a＜0时，两图象有两个交点，即方程f(x)＝0有两个实数解．11．(2015·山东日照联考)已知函数f(x)＝2x＋k·2－x，k∈R.(1)若函数f(x)为奇函数，求实数k的值；(2)若对任意的x∈[0，＋∞)，都有f(x)＞2－x成立．求实数k的取值范围．解析：(1)因为f(x)＝2x＋k·2－x是奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，x∈R，即2－x＋k·2x＝－(2x＋k·2－x)．所以(1＋k)＋(k＋1)·22x＝0对一切x∈R...
