专题3.3定积分考点分析定积分与微积分基本定理（1）了解定积分的实际背景，了解定积分的基本思想，了解定积分的概念；（2）了解微积分基本定理的含义．知识链接1、相关术语：对于定积分（1）称为积分上下限，其中（2）：称为被积函数（3）：称为微分符号，当被积函数含参数时，微分符号可以体现函数的自变量是哪个，例如：中的被积函数为，而的被积函数为2、定积分的几何意义：表示函数与轴，围成的面积（轴上方部分为正，轴下方部分为负）和，所以只有当图像在完全位于轴上方时，才表示面积。可表示数与轴，围成的面积的总和，但是在求定积分时，需要拆掉绝对值分段求解3、定积分的求法：高中阶段求定积分的方法通常有2种：（1）微积分基本定理：如果是区间上的连续函数，并且，那么使用微积分基本定理，关键是能够找到以为导函数的原函数。所以常见的初等函数的导函数公式要熟记于心：①寻找原函数通常可以“先猜再调”，先根据导函数的形式猜出原函数的类型，再调整系数，例如：，则判断属于幂函数类型，原函数应含，但，而，所以原函数为（为常数）②如果只是求原函数，则要在表达式后面加上常数，例如，则，但在使用微积分基本定理时，会发现计算时会消去，所以求定积分时，不需加上常数。（2）利用定积分的几何含义：若被积函数找不到原函数，但定积分所对应的曲边梯形面积易于求解，则可通过求曲边梯形的面积求定积分。但要注意曲边梯形若位于轴的下方，则面积与所求定积分互为相反数。4、定积分的运算性质：假设存在（1）作用：求定积分时可将的系数放在定积分外面，不参与定积分的求解，从而简化的复杂程度（2）作用：可将被积函数拆成一个个初等函数的和，从而便于寻找原函数并求出定积分，例如（3），其中作用：当被积函数含绝对值，或者是分段函数时，可利用此公式将所求定积分按区间进行拆分，分别求解。5、若具备奇偶性，且积分限关于原点对称，则可利用奇偶性简化定积分的计算（1）若为奇函数，则（2）若为偶函数，则6、利用定积分求曲面梯形面积的步骤：（1）通过作图确定所求面积的区域（2）确定围成区域中上，下曲线对应的函数（3）若时，始终有，则该处面积为7、有的曲面梯形面积需用多个定积分的和进行表示。需分段通常有两种情况（1）构成曲面梯形的函数发生变化（2）构成曲面梯形的函数上下位置发生变化，若要面积与定积分的值一致，则被积函数要写成“上方曲线的函数下方曲线函数”的形式。所以即使构成曲面梯形的函数不变，但上下位置发生过变化，则也需将两部分分开来写。融会贯通题型一定积分的计算典例1(1)(2017·九江模拟)若(2ʃx＋λ)dx＝2(λ∈R)，则λ等于()A．0B．1C．2D．－1(2)定积分|ʃx2－2x|dx等于()A．5B．6C．7D．8【答案】(1)B(2)D【解题技巧与方法总结】运用微积分基本定理求定积分时要注意以下几点：(1)对被积函数要先化简，再求积分；(2)求被积函数为分段函数的定积分，依据定积分“对区间的可加性”，先分段积分再求和；(3)对于含有绝对值符号的被积函数，要先去掉绝对值号再求积分．【变式训练】(1)若则实数a的值为()A．－1B．1C．－D.(2)设f(x)＝则ʃf(x)dx等于()A.B.C.D.【答案】(1)A(2)C【解析】＝0－a－(－1－0)＝1－a＝2，∴a＝－1.(2)ʃf(x)dx＝ʃx2dx＋(2ʃ－x)dx＝x3|＋(2x－x2)|＝＋(4－×4)－(2－)＝.题型二定积分的几何意义命题点1利用定积分的几何意义计算定积分典例2(1)计算：dʃx＝________.(2)若dʃx＝，则m＝________.【答案】(1)π(2)－1命题点2求平面图形的面积典例3(2017·青岛月考)由曲线xy＝1，直线y＝x，y＝3所围成的封闭平面图形的面积为______．【答案】4－ln3【解析】由xy＝1，y＝3可得交点坐标为(，3)．由xy＝1，y＝x可得交点坐标为(1,1)，由y＝x，y＝3得交点坐标为(3,3)，由曲线xy＝1，直线y＝x，y＝3所围成图形的面积为＝(3－1－ln3)＋(9－－3＋)＝4－ln3.【解题技巧与方法总结】(1)根据定积分的几何意义可计算定积分；(2)利用定积分求平面图形面积的四个步骤①画出草图，在直角坐标系中画出曲线或直线的大致图象；②借助图形确定出被积函数，求出交点坐标，确定积分的上、下限；③把曲边梯形的面积表示...
