考点十二：导数与函数的极值与最值【考纲要求】（1）了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值（其中多项式函数一般不超过三次）；会求闭区间上函数的最大值、最小值（其中多项式函数一般不超过三次）.【命题规律】利用导数研究函数的极值与最值是高考的热点问题，近2年在高考中大批量的出现，常常会考查利用导数研究含参函数的单调性，极值综合考查，有时出现在做题过程中.预计2018年的高考将会在大题中考查利用导数研究函数的极值与最值，命题形式会更加灵活、新颖．【典型高考试题变式】（一）函数的极值的意义例1.【2017全国2卷（理）】若是函数的极值点，则的极小值为（）.A.B.C.D.1【答案】A【方法技巧归纳】对于可导函数，导数为0的点不一定是极值点.函数在处取极值的充要条件应为（1），（2）在左右两侧的导数值的符号相反.从解题的规范性和正确性角度出发，求类似问题最后都要进行检验.【变式1】【改编例题的问法，辨别极值与零点的不同】【2015陕西卷理科】对二次函数（为非零常数），四位同学分别给出下列结论，其中有且仅有一个结论是错误的，则错误的结论是（）A．是的零点B．1是的极值点C．3是的极值D．点在曲线上【答案】A【解析】若选项A错误时，选项B、C、D正确，，因为是的极值点，是的极值，所以，即，解得：，因为点在曲线上，所以，即，解得：，所以，，所以，因为，所以不是的零点，所以选项A错误，选项B、C、D正确，故选A．【变式2】【改变例题的问法，通过极值问题求参数的范围】【2014全国2卷理科】设函数.若存在的极值点满足，则m的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】C（二）求函数的极值例2.【2017全国2卷理】已知函数，且.（1）求；（2）证明：存在唯一的极大值点，且.【答案】（1）；（2）答案见解析.【解析】（1）因为，，所以．令，则，，当时，，单调递减，但，时，；当时，令，得．当时，，单调递减；当时，，单调递增．若，则在上单递调递减，；若，则在上单调递增，；若，则，．综上，．（2），，．令，则，．令得，当时，，单调递减；当时，，单调递增．所以．因为，，，，所以在和上，即各有一个零点．设在和上的零点分别为，因为在上单调递减，所以当时，，单调增；当时，，单调递减．因此，是的极大值点．因为，在上单调增，所以当时，，单调递减，当时，单调递增，因此是的极小值点．所以有唯一的极大值点．由前面的证明可知，，则．因为，所以，又，因为，所以．因此，．即.【方法技巧归纳】求函数极值的步骤：①求函数的定义域；②求出函数的导函数；③解方程，求出的值；④判定在定义域内导函数为0的点两侧的单调性，并求出在该点的原函数值；⑤先增后减位极大值点，先减后增为极小值点，两侧单调性相同，则该点不是极值点.【变式1】【改变例题的问法，通过极值求参数范围】【2017江苏卷】已知函数有极值，且导函数的极值点是的零点.（极值点是指函数取极值时对应的自变量的值）（1）求关于的函数关系式，并写出定义域；（2）证明：；（3）若，这两个函数的所有极值之和不小于，求的取值范围.【答案】（1），定义域为；（2）答案见解析；（3）.【解析】（1）由，得.当时，有极小值.因为的极值点是的零点.所以，又，故.因为有极值，故有实根，从而，即.时，，故在R上是增函数，没有极值；时，有两个相异的实根，.列表如下x+0–0+极大值极小值故的极值点是.从而，因此，定义域为.（3）由（1）知，的极值点是，且，.从而.记，所有极值之和为，因为的极值为，所以，.因为，于是在上单调递减.因为，于是，故.因此的取值范围为.【变式2】【改编例题条件和问题，求解含参函数的极值】【2017山东理】已知函数，，其中是自然对数的底数.（1）求曲线在点处的切线方程；（2）令，讨论的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值.【答案】（1）；（2）当时，在上单调递减，在上单调递增，函数有极小值，极小值是；当时，函数在和和上单调递增，在上单调递减，函数有极大值，也有极小值，极大值是，极小值是；当时，函数在上单调递增，无极值；当时，函数在和上单调递增，在上单调递减，函数有极大值，也有极小值，...
