考点46离散型随机变量及其分布列、离散型随机变量的均值与方差一、填空题1.(2015·福建高考理科·T13)如图,点A的坐标为(1,0),点C的坐标为(2,4),函数f(x)=x2,若在矩形ABCD内随机取一点,则此点取自阴影部分的概率等于.【解题指南】利用定积分求面积,然后根据几何概型的公式计算概率.【解析】S矩形ABCD=1×4=4,x2dx=x3=,所以此点取自阴影区域内的概率P==.答案:二、解答题2.(2015·四川高考理科·T17)某市A,B两所中学的学生组队参加辩论赛,A中学推荐了3名男生、2名女生,B中学推荐了3名男生、4名女生,两校所推荐的学生一起参加集训.由于集训后队员水平相当,从参加集训的男生中随机抽取3人、女生中随机抽取3人组成代表队.(1)求A中学至少有1名学生入选代表队的概率.(2)某场比赛前,从代表队的6名队员中随机抽取4人参赛.设X表示参赛的男生人数,求X的分布列和数学期望.【解题指南】利用补集思想(或互斥事件概率公式)和排列组合公式求概率.第一问中,求出A中学无人入选代表队的概率,再用1减去此概率即得答案.第二问,知X=1,2,3,分别求出相应的概率,由此可求分布列和数学期望.【解析】(1)设事件A表示“A中学至少有1名学生入选代表队”,则P(A)=1-.(2)由题意,=1,2,3,因此X的分布列为X123P数学期望:E(X)=1×+2×+3×=2.3.(2015·山东高考理科·T19)(本小题满分12分)若n是一个三位正整数,且n的个位数字大于十位数字,十位数字大于百位数字,则称n为“三位递增数”(如137,359,567等).在某次数学趣味活动中,每位参加者需从所有的“三位递增数”中随机抽取1个数,且只能抽取一次,得分规则如下:若抽取的“三位递增数”的三个数字之积不能被5整除,参加者得0分;若能被5整除,但不能被10整除,得-1分;若能被10整除,得1分.(1)写出所有个位数字是5的“三位递增数”.(2)若甲参加活动,求甲得分X的分布列和数学期望E(X).【解题指南】(1)分十位数字是2,3,4讨论.(2)先求X的可能取值及对应概率,再求分布列及数学期望.【解析】(1)若十位数字是4,有145,245,345;若十位数字是3,有135,235;若十位数字是2,有125.所以个位数字是5的“三位递增数”有145,245,345,135,235,125共6个.(2)个位数字是3时,有1个;个位数字是4时,有3个;个位数字是5时,有6个;个位数字是6时,有10个;个位数字是7时,有15个;个位数字是8时,有21个;个位数字是9时,有28个,共84个.三个数字之积能被10整除的有22个,三个数字之积能被5整除,但不能被10整除的有6个,三个数字之积不能被5整除的有56个.X的可能取值为-1,0,1;;.所以X的分布列为01所以X的数学期望EX.4.(2015·天津高考理科·T16)(本小题满分13分)为推动乒乓球运动的发展,某乒乓球比赛允许不同协会的运动员组队参加.现有来自甲协会的运动员3名,其中种子选手2名;乙协会的运动员5名,其中种子选手3名.从这8名运动员中随机选择4人参加比赛.(1)设A为事件“选出的4人中恰有2名种子选手,且这2名种子选手来自同一个协会”,求事件A发生的概率.(2)设X为选出的4人中种子选手的人数,求随机变量X的分布列和数学期望.【解题指南】(1)由古典概型计算公式直接计算即可.(2)先写出随机变量X的所有可能值,求出其相应的概率,即可求概率分布列及期望.【解析】(1)由已知,所以事件A发生的概率为.(2)随机变量X的所有可能取值为1,2,3,4.所以,随机变量X的分布列为1234随机变量X的数学期望5.(2015·湖北高考理科·T20)某厂用鲜牛奶在某台设备上生产A,B两种奶制品.生产1吨A产品需鲜牛奶2吨,使用设备1小时,获利1000元;生产1吨B产品需鲜牛奶1.5吨,使用设备1.5小时,获利1200元.要求每天B产品的产量不超过A产品产量的2倍,设备每天生产A,B两种产品时间之和不超过12小时.假定每天可获取的鲜牛奶数量W(单位:吨)是一个随机变量,其分布列为W121518P0.30.50.2该厂每天根据获取的鲜牛奶数量安排生产,使其获利最大,因此每天的最大获利Z(单位:元)是一个随机变量.(1)求Z的分布列和均值.(2)若每天可获取的鲜牛奶数量相互独立,求3天中至少有1天的最大获利超过10000元的概率.【解题指南】(1)利用线性规划模型,设每天A,B两种产品的生产数量分别为x,y,目标函数z=1000x+1200y,列出线性约束条件,画出可行域.通过解方程求出最优解,列出分布列,求均值.(2)由(1)知,...
