学业分层测评(十三)向量的概念(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1.下列说法正确的个数是()(1)温度、速度、位移、功这些物理量都是向量；(2)零向量没有方向；(3)非零向量的单位向量是唯一的.A.0B.1C.2D.3【解析】(1)中温度和功不是向量；(2)零向量的方向不确定，而不是没有方向，所以(1)(2)错误.【答案】B2.下列结论正确的是()A.向量必须用有向线段来表示B.表示一个向量的有向线段是唯一的C.有向线段AB和BA是同一向量D.有向线段AB和BA的大小相等【解析】向量除了可以用有向线段表示以外，还可用坐标或字母表示，所以选项A错误；向量为自由向量，只要大小相等，方向相同就为同一个向量，而与它的具体位置无关，所以表示一个向量的有向线段不是唯一的，选项B错误；有向线段AB和BA的方向相反，大小相等，不为同一向量，所以选项C错误，D正确.【答案】D3.给出下列四个命题：①若|a|＝0，则a＝0；②若|a|＝|b|，则a＝b或a＝－b；③若a∥b，则|a|＝|b|；④若a＝0，则－a＝0.其中正确的命题有()A.1个B.2个C.3个D.4个【解析】对于①，前一个零是实数，后一个应是向量0.对于②，两个向量的模相等，只能说明它们的长度相等，它们的方向并不确定.对于③，两个向量平行，它们的方向相同或相反，模未必相等.只有④正确.故选A.【答案】A4.数轴上点A，B分别对应－1、2，则向量AB的长度是()A.－1B.2C.1D.3【解析】易知|AB|＝2－(－1)＝3，故选D.【答案】D5.(2016·长春十一中期末)若|AB|＝|AD|且BA＝CD，则四边形ABCD的形状为()A.平行四边形B.矩形C.菱形D.等腰梯形【解析】由BA＝CD知四边形为平行四边形；由|AB|＝|AD|知四边形ABCD为菱形.故选C.【答案】C二、填空题6.已知A，B，C是不共线的三点，向量m与向量AB是平行向量，与BC是共线向量，则m＝________.【解析】因为A，B，C三点不共线，所以AB与BC不共线，又因为m∥AB且m∥BC，所以m＝0.【答案】07.给出以下五个条件：①a＝b；②|a|＝|b|；③a与b的方向相反；④|a|＝0或|b|＝0；⑤a与b都是单位向量.其中能使a∥b成立的是________.(填序号)【解析】共线向量指的是方向相同或相反的向量，它只涉及方向，不涉及大小.很明显仅有①③④.【答案】①③④三、解答题8.O是正方形ABCD对角线的交点，四边形OAED，OCFB都是正方形，在如图214所示的向量中：图214(1)分别找出与AO，BO相等的向量；(2)找出与AO共线的向量；(3)找出与AO模相等的向量；(4)向量AO与CO是否相等？【解】(1)AO＝BF，BO＝AE.(2)与AO共线的向量有：BF，CO，DE.(3)与AO模相等的向量有：CO，DO，BO，BF，CF，AE，DE.(4)向量AO与CO不相等，因为它们的方向不相同.9.如图215所示，已知四边形ABCD中，M，N分别是BC，AD的中点，又AB＝DC且CN＝MA，求证：DN＝MB.【导学号：72010041】图215【证明】因为AB＝DC，所以|AB|＝|DC|且AB∥DC，所以四边形ABCD是平行四边形，所以|DA|＝|CB|且DA∥CB.又因为DA与CB的方向相同，所以CB＝DA.同理可证，四边形CNAM是平行四边形，所以CM＝NA.因为|CB|＝|DA|，|CM|＝|NA|，所以|MB|＝|DN|.又DN与MB的方向相同，所以DN＝MB.[能力提升]1.已知向量a，b是两个非零向量，AO，BO分别是与a，b同方向的单位向量，则以下各式正确的是()A.AO＝BOB.AO＝BO或AO＝OBC.AO＝OBD.AO与BO的长度相等【解析】因为a与b方向关系不确定且a≠0，b≠0，又AO与a同方向，BO与b同方向，所以AO与BO方向关系不确定，所以A，B，C均不对.又AO与BO均为单位向量，所以|AO|＝|BO|＝1.【答案】D2.已知飞机从A地按北偏东30°方向飞行2000km到达B地，再从B地按南偏东30°方向飞行2000km到达C地，再从C地按西南方向飞行1000km到达D地.画图表示向量AB，BC，CD，并指出向量AD的模和方向.【解】以A为原点，正东方向为x轴正方向，正北方向为y轴正方向建立直角坐标系.据题设，B点在第一象限，C点在x轴正半轴上，D点在第四象限，向量AB，BC，CD如图所示，由已知可得，△ABC为正三角形，所以AC＝2000km.又∠ACD＝45°，CD＝1000km.所以△ADC为等腰直角三角形，所以AD＝1000km，∠CAD＝45°.故向量AD的模为1000km，方向为东南方向.
