第八讲三角函数与其他知识的综合运用考向一解三角形与三角函数综合【例1】设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a＝btanA，且B为钝角。(1)证明：B－A＝；(2)求sinA＋sinC的取值范围。【答案】见解析【解析】(1)证明：由a＝btanA及正弦定理，得＝＝，所以sinB＝cosA，即sinB＝sin。因为B为钝角，所以A为锐角，所以＋A∈，则B＝＋A，即B－A＝。(2)由(1)知，C＝π－(A＋B)＝π－＝－2A>0，所以A∈。于是sinA＋sinC＝sinA＋sin＝sinA＋cos2A＝－2sin2A＋sinA＋1＝－22＋。因为0
0，c>0，所以＋＝1，则4a＋c＝(4a＋c)·＝5＋＋≥5＋2＝9，当且仅当c＝2a时取等号，故4a＋c的最小值为9。【修炼套路】---为君聊赋《今日诗》，努力请从今日始2.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，外接圆的半径为1，且＝，则△ABC面积的最大值为________。【答案】【解析】因为＝，所以＝(2c－b)，由正弦定理得sinBsinAcosB＝(2sinC－sinB)sinBcosA，又sinB≠0，所以sinAcosB＝(2sinC－sinB)cosA，所以sinAcosB＋sinBcosA＝2sinCcosA，sin(A＋B)＝2sinCcosA，即sinC＝2sinCcosA，又sinC≠0，所以cosA＝，sinA＝。设外接圆的半径为r，则r＝1，由余弦定理得bc＝＝b2＋c2－a2＝b2＋c2－(2rsinA)2＝b2＋c2－3≥2bc－3(当且仅当b＝c时，等号成立)，所以bc≤3，所以S△ABC＝bcsinA＝bc≤。3.在△ABC中，a2＋c2＝b2＋ac。(1)求B的大小；(2)求cosA＋cosC的最大值。【答案】(1)由余弦定理和已知条件可得cosB＝＝＝，又因为00.(I)证明：CD为△ABC的内角平分线；(Ⅱ)若CD=3，求cosC.【答案】(Ⅰ)见解析.（Ⅱ）cosC=18.【解析】（I）因为cos∠ACD−cos∠BCD=⃑CD⋅⃑CA|⃑CD|⋅|⃑CA|−⃑CD⋅⃑CB|⃑CD|⋅|⃑CB|=λ(⃑CA+2⃑CB)⋅⃑CA|⃑CD||⃑CA|−λ(⃑CA+2⃑CB)⋅⃑CB|⃑CD||⃑CB|=λ⃑CA2+2⃑CB⋅⃑CA6|⃑CD|−λ⃑CA⋅⃑CB+2⃑CB23|⃑CD|=λ6|⃑CD|(⃑CA2+2⃑CB⋅⃑CA−2⃑CA⋅⃑CB−4⃑CB2)=0所以cos∠ACD=cos∠BCD，又因为0<∠ACD<90°，0<∠BCD<90°，所以∠ACD=∠BCD，所以CD为△ABC的内角平分线.（方法二：提示：根据向量加法的平行四边形法则，结合菱形对角线平分内角可以证得）（Ⅱ）△ADC中，ADsinC2=ACsin∠ADC，△BDC中，BDsinC2=BCsin∠BDC， sin∠ADC=sin∠BDC，AC=6，BC=3，∴AD=2BD，△BCD中，BD2=9+9−18cosC2，△ACD中，AD2=36+9−36cosC2，∴cosC2=34，cosC=2cos2C2−1=18.考向三三角函数与圆锥曲线【例3】在直角坐标平面内，已知A(−2,0)，B(2,0)以及动点C是ΔABC的三个顶点，且sinAsinB−2cosC=0，则动点C的轨迹曲线Γ的离心率是（）A．❑√22B．❑√32C．❑√2D．❑√3【答案】A【解析】 sinAsinB-2cosC=0，∴sinAsinB=2cosC=-2cos（A+B）=-2(cosAcosB-sinAsinB)，∴sinAsinB=2cosAcosB，即tanAtanB=2，∴kAC⋅kBC=−2，设C（x，y），又A（﹣2，0），B（2，0），所以有yx+2⋅yx−2=−2，(y≠0)，整理得x24+y28=1(y≠0)，∴a=2❑√2，c=2，离心率是ca=❑√22故选A．【举一反三】1．已知椭圆x2a2+y2b2＝1...
