章末复习课要点训练一三角函数的概念1.在平面直角坐标系中,设任意角α终边上任意一点P(x,y),它与原点的距离为r=❑√x2+y2,则sinα=yr,cosα=xr,tanα=yx.2.任意角的三角函数值只与这个角的终边位置有关,而与点P在终边上的位置无关.角与三角函数值的对应关系是多值对应关系,给定一个角,它的三角函数值是唯一确定的;反过来,给定一个三角函数值,有无穷多个角和它对应.3.三角函数值在各象限的符号有如下记忆口诀:一全正、二正弦、三正切、四余弦.依据相应三角函数值的符号可以确定角终边所在的象限.1.若角θ的终边上一点P(a,-1)(a≠0),且tanθ=-a,则sinθ的值是()A.±√22B.-√22C.√22D.-12解析:由三角函数的定义,得tanθ=-1a=-a,所以a2=1,所以a=±1,当a=1时,sinθ=-√22;当a=-1时,sinθ=-√22.答案:B2.若-π2<α<0,则点P(tanα,cosα)位于()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限解析:因为-π2<α<0,所以tanα<0,cosα>0,所以点P(tanα,cosα)位于第二象限.答案:B3.已知点P(-2,y)是角θ终边上的一点,且sinθ=-√55,求cosθ的值.解:因为sinθ=-√55,所以角θ终边与单位圆的交点(cosθ,sinθ)为(±2√55,-√55).又因为点P(-2,y)是角θ终边上的一点,所以cosθ<0,所以cosθ=-25√5.要点训练二同角三角函数的基本关系与诱导公式三角函数式的化简、求值与证明问题的依据主要是同角三角函数的关系式及诱导公式.(1)化简的顺序是:先用诱导公式化为同角三角函数,再用同角三角函数关系化简.(2)用同角三角函数关系化简时,有两种思路:①化弦法:当切函数的项比较少时,常常化弦达到化简的目的;②化切法:当弦函数的项比较少或者正、余弦的解析式是齐次式时,常常化切,便于化简.1.若sinαcosα=18,且π4<α<π2,则sinα-cosα的值为()A.-43B.34C.√32D.-√32解析:因为π4<α<π2,所以sinα>cosα.又因为sinαcosα=18,所以(sinα-cosα)2=sin2α-2sinαcosα+cos2α=1-2×18=34.所以sinα-cosα=√32.答案:C2.(北京高考)在平面直角坐标系xOy中,角α与角β均以Ox为始边,它们的终边关于y轴对称.若sinα=13,则sinβ=13.解析:由角α与角β的终边关于y轴对称,知α+β=π+2kπ(k∈Z),所以β=2kπ+π-α(k∈Z),所以sinβ=sinα=13.3.若θ是第四象限角,且sinθ+π4=35,则tanθ-π4=-43.解析:将θ-π4转化为(θ+π4)-π2.由题意,知Sin(θ+π4)=35,θ是第四象限角,所以cos(θ+π4)>0,所以cos(θ+π4)=❑√1-sin2(θ+π4)=45.Tan(θ-π4)=tan(θ+π4-π2)=-1tan(θ+π4)=-cos(θ+π4)sin(θ+π4)=-4535=-43.4.已知2+tan(θ-π)1+tan(2π-θ)=-4,求(sinθ-3cosθ)·(cosθ-sinθ)的值.解:2+tan(θ-π)1+tan(2π-θ)=2+tanθ1-tanθ=-4,解得tanθ=2.(sinθ-3cosθ)(cosθ-sinθ)=sinθcosθ-sin2θ-3cos2θ+3sinθcosθ=4sinθcosθ-sin2θ-3cos2θsin2θ+cos2θ=4tanθ-tan2θ-3tan2θ+1=4×2-22-322+1=15.要点训练三三角恒等变换中的求值问题三角函数求值主要有三种类型,即:(1)给角求值:一般给出的角都是非特殊角,从表面看较难,但仔细观察就会发现这类问题中的角与特殊角都有一定的关系,如和或差为特殊角,当然还有可能需要运用诱导公式.(2)给值求值:即给出某些角的三角函数式的值,求另外一些三角函数的值,这类求值问题关键在于结合条件和结论中的角,合理拆、配角.当然在这个过程中要注意角的范围.(3)给值求角:本质上还是“给值求值”,只不过往往求出的是特殊角的值,在求出角之前还需结合函数的单调性确定角,必要时还要讨论角的范围.1.(全国卷Ⅱ)若α∈0,π2,2sin2α=cos2α+1,则sinα=()A.15B.❑√55C.❑√33D.2❑√55解析:因为2sin2α=cos2α+1,所以4sinαcosα=2cos2α.因为α∈(0,π2),所以cosα>0,sinα>0,所以2sinα=cosα.又因为sin2α+cos2α=1,所以5sin2α=1,所以sin2α=15,所以sinα=❑√55,故选B.答案:B2.(全国卷Ⅱ)若sinα+cosβ=1,cosα+sinβ=0,则sin(α+β)=-12.解析:因为sinα+cosβ=1,①cosα+sinβ=0,②所以①2+②2,得1+2(sinαcosβ+cosαsinβ)+1=1,所以sinαcosβ+cosαsinβ=-12,所以sin(α+β)=-12.3.在△ABC中,若cosA=13,则sin2B+C2+cos2A等于-19.解析:在△ABC中,B+C2=π2-A2,所以sin2B...