考点6.3平面向量的数量积考点梳理1.向量的夹角已知两个非零向量a和b，作OA＝a，OB＝b，则∠AOB就是向量a与b的夹角，向量夹角的范围是[0，π].2.平面向量的数量积定义设两个非零向量a，b的夹角为θ，则数量|a||b|·cosθ叫做a与b的数量积，记作a·b投影|a|cosθ叫做向量a在b方向上的投影|b|cosθ叫做向量b在a方向上的投影几何意义数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cosθ的乘积3.向量数量积的运算律(1)a·b＝b·a.(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb).(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c.4.平面向量数量积的有关结论已知非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ.结论符号表示坐标表示模|a|＝|a|＝夹角cosθ＝cosθ＝a⊥b的充要条件a·b＝0x1x2＋y1y2＝0|a·b|与|a||b|的关系|a·b|≤|a||b||x1x2＋y1y2|≤概念方法微思考两个向量的数量积大于0，则夹角一定为锐角吗？提示不一定．当夹角为0°时，数量积也大于0.真题演练1．（2020•山东）已知是边长为2的正六边形ABCDEF内的一点，则的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】画出图形如图，，它的几何意义是的长度与在向量的投影的乘积，显然，在处时，取得最大值，，可得，最大值为6，在处取得最小值，，最小值为，是边长为2的正六边形内的一点，所以的取值范围是．故选A．2．（2020•新课标Ⅱ）已知单位向量，的夹角为，则在下列向量中，与垂直的是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】单位向量，，对于，，所以与不垂直；对于，，所以与不垂直；对于，，所以与不垂直；对于，，所以与垂直．故选D．3．（2020•新课标Ⅲ）已知向量，满足，，，则，（）A．B．C．D．【答案】D【解析】向量，满足，，，可得，，．故选D．4．（2019•新课标Ⅰ）已知非零向量，满足，且，则与的夹角为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】，，，，．故选B．5．（2019•新课标Ⅱ）已知，，，则（）A．B．C．2D．3【答案】C【解析】，，，，即，则故选C．6．（2019•新课标Ⅱ）已知向量，，则（）A．B．2C．D．50【答案】A【解析】，，，，，，．故选A．7．（2018•天津）如图，在平面四边形ABCD中，，，，．若点为边CD上的动点，则的最小值为（）A．B．C．D．3【答案】A【解析】如图所示，以为原点，以所在的直线为轴，以所在的直线为轴，过点做轴，过点做轴，，，，，，，，，，，，，，，设，，，，，，当时，取得最小值为．故选A．8．（2018•天津）在如图的平面图形中，已知，，，，，则的值为（）A．B．C．D．0【答案】C【解析】解法Ⅰ，由题意，，，，，且，又，；，，．解题Ⅱ：不妨设四边形是平行四边形，由，，，，，知，．故选C．9．（2018•新课标Ⅱ）已知向量，满足，，则（）A．4B．3C．2D．0【答案】B【解析】向量，满足，，则，故选B．10．（2018•浙江）已知，，是平面向量，是单位向量．若非零向量与的夹角为，向量满足，则的最小值是（）A．B．C．2D．【答案】A【解析】由，得，，如图，不妨设，则的终点在以为圆心，以1为半径的圆周上，又非零向量与的夹角为，则的终点在不含端点的两条射线上．不妨以为例，则的最小值是到直线的距离减1．即．故选A．11．（2018•上海）已知、为平面上的两个定点，且，该平面上的动线段PQ的端点、，满足，，，则动线段PQ所形成图形的面积为（）A．36B．60C．72D．108【答案】B【解析】根据题意建立平面直角坐标系，如图所示；则，，设，，；由，得；又，，；；动点在直线上，且，由相似三角形可知扫过的面积为48，即，则扫过的三角形的面积为，设点，，，，，，，，动点在直线上，且，，扫过的三角形的面积为，因此和为60，故选B．12．（2017•浙江）如图，已知平面四边形ABCD，，，，AC与BD交于点，记，，，则（）A．B．C．D．【答案】C【解析】，，，，，由图象知，，，，即，故选C．13．（2017•新课标Ⅱ）已知是边长为2的等边三角形，为平面ABC内一点，则的最小值是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】建立如图所示的坐标系，以中点为坐标原点，则，，，设，则，，，则当，时，取得最小值，故选B．14．（2017•新课标Ⅱ）设非零向量，满足，则（）A．B．C．D．【答案】A【解析】非零...
